CHAPITRE II
CABACTÈRES DE DIVISIBILITÉ
325. Les caractères de divisibilité ne sont pas les nrièmes dans les différents systèmes de numération.
Dans le système duodécimal, un nombre terminé par un 0, étant multiple de douze, est multiple de chacun des diviseurs de douze, c'est-à-dire de 2, 3, 4, 6. Un nombre quelconque 2a76 se décomposant en 2 parties. Tune 2a70, multiple de chacun des diviseurs de dpuze, l'autre 6 formée du dernier chiffre, on en conclut qu'un nombre est divisible parTun des diviseurs de la base, si son dernier chiffre est divisible par ce diviseur, et qu'en général le reste est égal au reste donné par ce dernier chiffre. Ainsi le nombre 2a76 est divisible par 2, par 3 et par 6 ; divisé par 4, il donne pour reste 2.
Un nombre terminé par deux zéros, étant un multiple de cent ou du carré de la base, est un multiple de hacun des diviseurs de cent, à savoir de 8, 9.... Un nombre sera donc divisible par l'un de ces diviseurs, si le nombre formé par ces deux derniers chiffres est divisible. Ainsi le nombre la60 est divisible par 8 et par 9.
326. Je vais indiquer la méthode générale par laquelle on trouve les caractères de divisibilité par un diviseur quelconque. Pour fixer les idées, je raisonne sur le diviseur 7, et je supposerai le nombre écrit dans le système décimal. Je cherche d'abord les restes que fournissent les puissances successives de la base divisées par 7 .
multiple
de 7 H- 5
id.
id.
■ id.
id.
id.
Le nombre 10 égale 7 plus 5. Le nombre 100 égale 10x10; or, on sait qu'on obtient le reste d'un produit en multipliant le reste du multiplicande par celui du multiplicateur ; le reste de 100 sera donc 3x3=9 ou 2. De même 1000 égale 100x10, le reste de 1000 égale le reste de 100 multiplié par celui de 10, c'est-à-dire 2x3=6. De même le reste de 10000 égale le reste de 1000 multiplié par celui de 10, c'est-à-dire 6x3=:18ou 4. Ainsi:
Règle. Pour calculer les restes,que fournissent les pumances successives d^un nombre divisé par un autre^ on multipliera le dernier reste obtenu par le reste de la première puissance^ ce qui donnera le reste suivant.
Les restes étant plus petits que le diviseur, après un nombre d'opérations au plus égal au diviseur moins un, on retombera nécessairement sur un reste déjà, obtenu, et comme les restes se calculent d'après une règle uniforme, les restes suivants se reproduiront de manière à former une série périodique. Dans l'exemple actuel, à la sixième opération on retrouve le premier reste 1, et la série se compose des six restes 1, 5, 2, 6, 4, 5, qui se reproduisent périodiquement.
Si, pour simplifier, on remplace les restes plus grands que la moitié du diviseur par les restes plus petits que cette moitié, le tableau précédent devient :
CARACTÈRES Dfi DIVISIBILITÉ. S11
10 = multiple de 7 -h 3
100= id. 4-2
iOOO= id. — i
1000000= id. 4-i
Soît maintenant un nombre quelconque 55184942629. On le décomposera de la manière suivante.
20 = multiple de 7 -h 3 X 2 600= id. 4-2x6
2000= id —1x2
40000= id —3x4
900000= id , 2x9
4000000= id. 4-1x4
80000000= id. 4-3x8
100000000= id. 4-2x1
3000000000= id —1x3
50000000000= id —3x5
Et en eifet, puisqu'une unilé du second ordre est égale à un multiple de 7 plus 5, deux unités de cet ordre seront égales à deux fois ce multiple de 7 plus deux fois 3 ; de môme, puisqu'une unité du cinquième ordre est égale à un multiple de 7 moins 3, quatre unités de Cet ordre seront égales à quatre fois ce multiplie de 7 moins quatre fois 5.
Ainsi, pour trouver le reste de la division par 7 d'tm nom^ hre écrit dans le système décimal^ on le partage en tranches de trois chiffres à partir de la droite^ on ajoute au premier chiffre de chaque tranche trois fois le second et deux fois le troisième^ on retranche les sommes fournies par les tranches de rang pair de celtes fournies par les tranches de rang impair y en augmentant ces dernières del^si cela est nécessaire.
Dans le calcul, on retranchera 7 toutes les fois que ce sera possible. En opérant sur le nombre proposé, on voit qu'il est divisible par 7.
513 LIVRE TII. ~ cnAFITBE 11.
327. Remarque I. J'appelle a la base du système de numération, b le diviseur que Ton considère. La mcUiode consiste ù former un tableau des restes fournis par les puissances successives de a divisées par b. Il peut se présenter diflerentes circonstances qu'il est bon d'étudier.
Et d'abord, si le diviseur ne contient que les facteurs premiers qui entrent dans la base, il est clair qu'on arrivera à une puissance a* de la base divisible par 6; alors ou trouvera le reste 0, et tous les restes suivants seront aussi nuls ; on voit que les m derniers chiffres de droite du nombre proposé concourent seuls à la formation du reste.
Je considère le cas le plus simple, celui où b est un diviseur de la base a ; dans ce cas, le reste de la division d*un nombre par b égale le reste donné par le dernier chitîre ; si ce dernier chiffre est divisible par b, le nombre est divisible par b. C'est ainsi que, dans le système décimal, on a trouvé le caractère de divisibilité par les deux diviseurs 2 et 5 de la base dix ; dans le système duodécimal, par les quatre diviseurs 2, 3, 4, 6, de la base douze.
328. Remarque II. Lorsque le diviseur égale a — 1, la première puissance de la base a donne le reste 1 ; la seconde puissance donne aussi le reste 1 ; tous les restes sont égaux à l'unité. Ainsi : Unnambre^ écrit dans le système de numération dont la base est a, est divisible par a — 1, si la somme de ses chiffres est divisible par a — l. '
Ce caractère s'applique au diviseur 9 dans le système décimal, au diviseur p dans le système duodécimal. Soit, par exemple, le nombre 45a3 écrit dans le système duodécimal; pour trouver le reste de la division de ce nombre parp, on dira : 5 et a.... 2, et 5.... 7 et 4.... 0; le nombre est divisible par ^.
329. Remarque III. Je considère enfin le cas où le diviseur b égale a-f-1, et, pour fixer les idées, je raisonne dans le système duodécimal. Les puissances successives de la base a s'écrivent 4, 40, 400....; le nombre t -h 4 s'écrit 44. Le nombre 400 est égal à P?4-4 ; orpp, étant égal au produit 44xp,
