I.rw'.r" (m — 1). a^^l.r. ?''./'. (?» — 1) (modm

jou

i.r.y'.r" (m — 1) [a'^ — 1]=0 (modm). .

Le nombre wi, divisant le premier membre et étant premier

avec chacun des facteurs 1, r, r' r", (m — 1), divise

Vautre fadeur a" — i ; donc

a**H:El (inod m).

Celte extension du théorème de Fermât a clé donnée par Euler.

342. CoROLLAWE I. Si Ton divise par m les puissances successives

a®, aS a*, «', ,

d*un nombre a premier avec m, les résidus forment une sérié périodique simple. Car on calculechaque résidu en multipliant le résidu précédent par le résidu de a; la première puissance 0? donne le résidu 1 , la puissance a* donne aussi le résidu 1 ; donc tous les rcsidus, à parlir du premier, se reproduisent dans le môme ordre.

De a^ à o""* inclusivement, il y a un nombre entier de périodes, puisque û" commence une période ; donc le nombre des termes de la période est n ou un sous-mulliple de «.