CoROLLAmE IL Pour convertir la fraction — en fraction

décimale, on divise par m les puissances successives de la base 10. Quand m est premier avec 10, la série des résidus étant périodique simple, la fraction décimale est évidemment périodique simple. Le nombre des chiffres de la période esl n ou un sous-multiple de n.

Par exemple, si Ton convertit en décimales la fraction ,\, on trouve

Le nombre n est ici égal à 12, et le nombre des chiffres de la période est la n^oitié de 12.

riUNCIPES DE LA THÉORIE DES NOMBRES. 3â&

RACINES PRIUTTIVES,

344. Lorsque deux nombres a et 6 sont équivalents par rapport au module m, deux puissances semblables a', b* donnent le même résidu; on peut donc, dans Tétude des résidus des puissances, supposer a plus petit que le module. Quand le module p est premier, on sait que la puissance a'~* donne le résidu 1 ; si celle puissance de a est la première qui, après a^, donne le résidu 1 , les résidus des puissances

forment une seule période composée de p— 1 nombres diffé^ renls; ce sont par conséquent les];^l premiers nombres

dans un certain ordre.

Tout nombre a plus petit que le nombre premier p, cl tel que a'"* soit la plus petite puissance, abstraction faite de a% qui donne le résidu 1 par rapport àp, s'appelle une racine primitive du nombre premier p. Chaque racine primitive d'un nombre premier p dispose les p — 1 premiers nombres dans un ordre particulier par les résidus de ses puissances.

Par exemple, le nombre premier 7 a deux racines primitives 3 et 5 ; il en résulte les deux dispositions suivantes des six premiers nombres.

Racine 5 i P^î^^^n^^s 5^ ô\ 5% 3', 5*, 3», 5», I Résidus 1, 5, 2, 6, 4, 5, i,

( Puissances 5^ 5', b\ b\ 5*, 5*, b\ ^^^"^ I Résidus 1, 5, 4, 6, 2, 3, 1.

Ces deux dispositions sont inverses Tune de Tautrc,

345. On démontre que tout nombre premier p admet au uioins une racine primitive. Dès qu'on sait qu'il existe une racine primitive, on trouve aisément combien il y en a en tout.

Soit aune racine primitive du nombre premier p. Considérons la suite des puissances î a\ a\ a\ a\ a\ , a^\

Désignons par.r un nombre inférieur et premier à p — 1 ; je dis que a/^j ou son résidu par rapport à p, est aussi une racine primitive. En effet, les puissances successives de ce nombre sont

(ar, (ar)\ (a% Kf, ...v-, («O^'S ou

a\ fl% a% û"", , a^-*^

On peut négliger le multiple de p — 1 contenu dans chaque exposant, puisque a^^i^ et remplacer cet exposant par son résidu relativement hp — 1 ; mais on sait que les multiples du nombre r premier à p — 1 donnent pour résidus, par rapport à p — 1 , les p — 2 premiers nombres (n** 331 ); on retrouve ainsi dans un certain ordre la série proposée

Si le nombre r n'était pas premier à p — 1 , on ne reproduirait qu'une partie de ces nombres. On conclut de là que le nombre des racines primitives d'un nombre premier p est éfjal au nombre des nombres inférieurs et premiers â p — 1 .

346. Nous avons vu (n** 557) que les multiples successifs des deux nombresrel(p — 1) — r, inférieurs et premicrsàp — 1, donnent, par rapport à p — 1, des résidus disposés en ordre inverse; les deux racines primitives correspondantes a*" et a^^""^ fourniront donc, par les résidus de leurs puissances successives, des dispositions inverses. -

Le tableau suivant renferme les racines primitives des nombres premiers jusqu'à 17.

KOMMES PREMIERS.

UACIKES PRIMITIVES.

7, li