p — 1)^ — 1 (modp

En effet, soit a l'un quelconque des]) — 1 premiers nombres, nous avons vu (n"" 555) qu'il existe un nombre b plus petit que p vérifiant T équivalence

«05^1 (modp),

et qu'il n'en existe qu'un ; on peut donc grouper lesp — 1 premiei's nombres deux à deux, de manière que le produit ab de deux nombres correspondants aeXb donne le résidu 1 . Nous remarquons en outre que les deux nombres diffèrent ; car si Ion avait a=&, le nombre a vérifierait l'équivalence

«•=1 ou x*— 1=0, ou (x— 1) (a;-Hl)=0,

le nombre premier />, divisant le produit des deux facteurs a?— 1 et X-+- 1 , devait diviser Tun d^eux, ce qui exige que l'on ail x=^i ou i:=p — 1. Il n'y a donc exception que pour le seul groupe 1 (p — 1), qui donne le résidu p — 1. On en conclut que le produit proposé donne le résidu p-^1, ou plus simplement —1.

Ce théorème est connu sous le nom de théorème de Wilson. On peut le généraliser de la manière suivante :