Comme 1 et m—1 sont forcément premiers à m, les

racines ® () et ® (=) — D (— =) , réciproques et en même m UD m temps conjuguées (109, III), sont toujours primitives.

Le polygone régulier de m côtés qu'engendrent les puissances successives de la première a pour sommets les points (7) respectivement, et en marchant sur son périmètre de manière à rencontrer successivement ses sommets dans l’ordre où ils se présentent ainsi, on exécute autour de l’origine une seule révolution de sens direct (107, IL). Celui qui correspond à l’autre racine coïncide géométriquement avec le précédent, etson parcours fait faire encore autour de l’origine une révolution unique, mais de sens rétrograde.

Les polygones réguliers fournis par les autres racines primitives ont bien aussi m côtés, mais, au lieu d’être convexes comme ces deux-ci, ils sont étoilés; de plus, le parcours de leurs périmètres constitue toujours plus d’une révolution autour de l’origine. À cause de cela nous nommerons principales les deux racines primilives dont il s’agit, la première directe, la seconde rétrograde.

, me I os Pour.m — 2, on a la seule racine primitive (=) = —1;à

proprement parler, elle n’engendre plus de polygone régulier, et la dénomination de racine principale devient sans objet.

Pour m — 4, les racines principales sont (+ :)= Æ z (LOL, D,

la première directe, la seconde rétrograde.

Dans la théorie de la fonction exponentielle (201, IV, inf.), nous rencontrerons des expressions remarquables des racines mi" de l'unité.

113 bis. Nous aurons à utiliser les observalions suivantes.

; ; ; ee .M 1. Sim, M, q sont trois entiers positifs donnant m = —,

Z chaque racine principale mime de l’unité est égale à la qième

puissance de la racine Mi"e de même nom. Car ces deux racines

ont pour valeurs, la seconde D (æ x) » et la première

(+2) =+(+ Vi FÉEMEN Te k mA) M M

IT. La quantité mod | P (+ sn nl |: côté du polygone régu-

m lier ayant pour sommets les puissances successives d’une racine principale mème, tend vers o, quand m augmente indéfiniment. Car D(M) est une fonction de tt qui est olotrope fee el prend la valeur 1 pour M — 0 (101, I).

114. En appelant #,, 8», ..., #» les racines mièmes de l’unité et ki, K:, ..., kn des entiers quelconques (positifs, nuls ou négatifs), la fonction symétrique

" A1 ghe k (9) DEA +. 8m plus généralement même la somme des valeurs distinctes que les seules permutations circulaires des m racines donnent au monome nus en évidence, est nulle toutes les fois que son degré

(positif ou néraut) KE, RER NN ECRIRE pas divisible par m.

On peut évidemment prendre #, égale à quelque racine primi- Uyérete ee PA