PAR AU OIL

composée d’une fonction simple connue Ü — f(x, y, ...)et de

la fonction radicale simple u” prise pour composante, dont : Eur :

nous supposerons l’exposant — irréductible.

Cette dernière étant olotrope pour toute valeur de w autre que o (80, ILD), l'expression considérée l’est en tout système de valeurs der, y, -... rendant f(x, y, ...) olotrope et non — 0 (248*).

On obtiendra donc les seules valeurs de +, y, ... qui soient critiques pour cette fonction composée, en cherchant :

I. Celles qui sont ordinaires pour f(x, y, ...) et satisfont à l’équation numérique

JUL NY, ce dr U. Celles qui sont singulières pour f(x, y, .…. PE

La discussion de valeurs du premier genre a, b, ... s'opère en considérant le développement de f(x, y, ...) en série entière par rapport à æ — a, y — b, .... Si les coefficients de ce développement ont des valeurs telles qu’il soit la puissance mie exacte de quelque autre de même nature, ce dont on s'assure en extrayant sa racine 7r"°%°, comme s’il se réduisait à un polynome ordonné suivant les puissances croissantes de æ— a, y — b, «..,ilest clair que l’expression (12) «a m déterminations toutes olotropes en T— 4; y 0, .... Sinon, et en particulier quand l’ensemble homogène des termes effectifs de moindre degré n’est la puissance m°% d'aucun polynome de cette espèce, il est évident qu'aucune de ces déterminations n'y est olotrope. Par exemple,

la fonction V//(x) est olotrope ou non en x — a, selon que le degré de multiplicité de a considéré comme zéro de f(x) est ou non divisible par m (3).

La nature d’une phase critique du second genre est entièrement subordonnée à celle de la phase singulière danslaquelle f(x, y, . . .) est supposée entrer, et naturellement on ne peut rien dire avant

que cette dernière ait été précisée. Si, par exemple, on avait N

HARAS RO D ANS 2) o(X, y, --.) étant olotrope et nulle en æ= «a, y =, ..., mais non puissance à exposant entier de quelque autre fonction olotrope, l'expression (12) y serait

nN RM à olotrope ou non, selon que Tu <€ réduirait ou non à quelque entier positif.

En un infini «, de degré de multiplicité x, de f(x) supposée méromorphe, on peut poser

Jixz)=(x—a)-Ufo(æ), d’où l

LÉ) = (x — a) m[f(x)fr.

Ce dernier radical étant olotrope en + = « parce qu’il porte sur