CHAPITRE III. — FONCTION RADICALE SIMPLE

une fonction qui l’est elle-même sans s’évanouir (33), cette fonc= tion composée y est ou non méromorphe, partant monodrome, selon que x estou non multiple de m.

196. Pour suivre par cheminement la valeur de la fonction composée (12), on peut procéder comme nous l'avons depuis bien longtemps expliqué (251*). Nous ferons plus’ bas (166, :nf.) une étude de ce genre, mais par des procédés un peu différents qui reposent sur la discussion de radicaux simples de la forme

(æ Ven aus

En appelant x, X les valeurs extrêmes de +, puis +, une valeur intermédiaire, puis [æ,æ, X |un chemin sëmple tracé par ces trois points, puis enfin [a] un anneau passant par æ, el enveloppant une seule fois la valeur critique 4, on aperçoit immédiatement, en raisonnant comme au n° 87, que tout chemin conduisant de x, à X peut, sans franchir le point A, être amené à se composer des tronçons [x,æ,], [æ, X | avec soudure intercalaire de l’anneau [a] parcouru plus ou moins de fois dans un sens ou dans l’autre.

Quand x décrit cet anneau, la différence æ — A représentée graphiquement sur un plan spécial y décrit évidemment, autour de son origine O'et dans le même sens de rotation, un anneau [O”] géométriquement superposable au premier. Après chaque révolution nouvelle, notre radical revient donc en æ, à sa valeur primitive multüpliée par &°* (119). Les changements que produit dans la valeur finale acquise en X par notre radical l’intercalalion entre les tronçons du chemin simple de l’anneau [a] répété un nombre quelconque de fois dans un sens ou dans l’autre, sont donc déterminés textuellement par les propositions des n°* 119 et

suivants.

mn

127. La règle de différentiation dela fonction composée [U(x)|" est fournie par la formule évidente, de même forme que si l’exposant était entier,

d A U(x es at 2 Poe) — - Le U'(x)= 2 [U(æ)} U'(æ) (256*), (118).

Pour la fonction composée plus générale L[m, U(æ)], on trou-

HP GR RES Has - - 2 FA F * =

Ur OT y ie

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verait (80, I), (82) NUE

PA tard (2192, enf).

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120 DEUXIÈME PARTIE. ra RO nUNS D'UNE SEULE

mais il vaut mieux rattacher ce qui intéresse théorie du logarithme et de l’exponentielle, com

d | ù ln, U(æ) = m uoE ny[m—

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