CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

quantité positive inférieure à modA;,, on peut en assigner deux autres Ë, n telles que pour tout système de valeurs de x, w ayant des modules inférieurs à ces dernières, on ait

modl(x,u)<e,

et par suite mod[Af,o+ 1(æ, u)]> mod Af,o — 2.

Il est donc impossible qu’une fonction de + annule identiquement ce second facteur et par suite l’expression (2) elle-même, si les valeurs qu’elle prend pour les valeurs de x dont les modules sont inférieurs à £ n'ont pas des modules au moins égaux à n, en paruculier si elle est infiniment petite quand x tend vers zéro.

131. Quand ÿ —1, l'équation (1) possède une seule racine qui est olotrope en x — 0.

En égalant à zéro le second facteur de l’expression (2), on obtient effectivement une équation de la forme

du+du?+...+xE(x, u)=0,

où d, n'est pas nul, et qui par suite rentre dans la théorie générale (307*). Car en x — uw — 0, son premier membre est olotrope et nul, mais non sa dérivée première par rapport à w qui se réduit à d,. Cette équation admet donc pour racine unique (308*) une fonction de x, olotrope en æ —0o, qui seule évidemment aussi peut annuler identiquement l’expression (2).

Nous n'avons ainsi à nous occuper que des cas où est > 1, et nous commencerons nos recherches par celle des racines olotropes (en æ—0).

132. S5 l’équation (1) possède la racine olotrope (3) U=O(T)= MT + ax? +...,

et si l’hypothèse u = ?(x) annule identiquement (pour toutes valeurs de x suffisamment voisines de o) f(x, u) et ses m—1 premières dérivées par rapport à u seulement, mais non la mime, on a, quelles que soient x, u (dans le voisinage de 0,0), l’identité

(4) f(a, u)=[u—g(æ)]" Of(æ, w),

où m est un entier Z1 et W)f(x, u) une nouvelle fonction olotrope en x = u —0, telle en outre que l'équation

n'admet plus la racine dont il s'agit.