CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

précédent, donne donc quelles que soient æ, U (dans le voisinage

de 0,0) À Ftæ, U)= U"OF(x, U),

WE(x, o) n'étant pas nulle quelle que soit +; d’où la relation (4) en faisant la substitution inverse U—u—v(x), et en appelant ®f(æ, u) la fonction (VF [x, u — &(x)], évidemment olotrope DO 0, qui pour — v(x) se réduit à (EF (x, o).

Nous appellerons l’entier m le degré de multiplicité de la racine (3) de l'équation considérée (1). On peut évidemment le regarder encore comme l’exposant de la plus haute puissance de la différence u— (x) qui divise f(x, u) en donnant un quotient olotrope en x =u—0, de plus non nul quelle que So x pour u — p(x).

133. Sc l'équation (1) possède, aux degrés de multiplicité (5) TL AIS RTE TTL es

les g racines

DIT) IAE dia UE..., CENT TEE ES NE,

. dsl s ns. 615 \94n, ete va ele tente stereo) ete et «

olotropes et nulles en x —0o, de plus toutes inégales, c'està-dire telles que, dans les développements par la formule de Maclaurin de deux quelconques, les coefficients des termes semblables ne sont pas tous respectivement égaux, on a quelles que soient les valeurs de x, u (suffisamment voisines de 0,0) l’identité

(7) f,u)=[u—m(r)a[u—p(r)lr...[u—9(r)l"s er, 2),

(& f(x, u) désignant une fonction olotrope en x = u—0, telle en outre que l'équation

EIfCTIU)= 0

n'admet plus aucune des racines dont il s'agit.

D’après le théorème du n° 132, la fonction

(8) Me, u)= f(x, u)[u —p1(x)] 74

est olotrope en x = uw — 0, et n’est plus nulle quelle que soit x pour u—v,(x); mais, pour # —v(x), autre racine quelconque de degré de multiplicité m du groupe (6), elle l’est avec toutes ses dérivées par rapport à w jusqu’à celle d'ordre m exclusivement.

Comme par hypothèse les racines #,(x), (x) ne sont pas identiquement égales, on a

PT) — pi(xr) = RG CIN GPA TUE,

le premier des coefficients constants ,, hy,1, ... n'étant pas nul; 1l en résulte (250*, I, Il)

Lo (æ)

CT (x) 1-74 — æ "9h LEE Ryr1T ae 7 = 2714 (bo + b1X +...),

expression qui, à cause de 6, non — 0, est évidemment olotrope et non nulle pour toutes les valeurs de æ en nombre illimité qui, sans être nulles, sont suffisamment voisines de zéro.

Cela posé, si dans la relation (8), et dans celles qu’on en déduit en la différentiant 1, 2, ...,m fois par rapport à w, on pose u = (x), un raisonnement tout semblable à celui du n° 6 montre que les identités supposées

Jr; (x)]= fx, p(x)] =... = fon op, entraînent WT», o(æ)] — WFO,DT>, o(x)] = ,,,—= M FU,#—1T D, o(x)] =

pour toutes les valeurs de x dont il s’agit, par suite identiquement, puisque celles-ci sont en nombre illimité et que ces foncuons d’une seule variable sont toutes olotropes (4). Mais il montre

aussi, à cause de LpCr)— p1(x) 742 0

pour les mêmes valeurs de +, et de

Jr frie(as)l20

pour toutes les mêmes valeurs de x, sauf peut-être quelques-unes