CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES. Pi

d’entre elles en nombre limité, sans quoi cette dérivée mi°"€ serait identiquement nulle contrairement à l'hypothèse, que (1)f(0:m{x, u) ne s’évanouit pas quelle que soit x pour u = v(x).

On a ainsi

Ce, u) = frere (r)]a MCE, u),

puis de même et successivement

Wy(æ, u)=[u—v(x)]7": Bf(æs u), Qf(æ, u)=[u—vp(x)]": Glf(x, u),

ru C, u) — [ a Es oe(r)|"e GF(æ, u),

où généralement f(x, u) est une fonction olotrope en x — 4 —0 telle que l’équation

Of(æ, u)= 0

n’admet aucune des £ premières racines (6), mais admet toutes les autres aux mêmes degrés de multiplicité mi41, Mijo, ..., Mo.

Pour obtenir l'identité (9), il ne reste plus maintenant qu’à multiplier ces g relations membre à membre, puis à supprimer les facteurs communs (1)f, (2)f, ..., G=uf,

134. IL est évident que, dans le produit de plusieurs séries entières de la forme (2), le terme principal est précisément le produit de ceux des facteurs et, par suite, que le grade du produit est égal à la somme de ceux des facteurs.

Comme le grade de chacune des séries u — w;(x) est évidemment 1, ceux des g premiers facteurs du second membre de l'identité (9) sont m, m2, ..., mg. En appelant donc (?g celui du dernier facteur, cette identité donne

(9) = Mi+ Mit... + Met (eg,

égalité en vertu de laquelle /a somme des degrés de multiplicité des racines olotropes inégales de l’équation (1), à plus forte raison chacun d’eux ainsi que le nombre de ces racines, ne peuvent surpasser le grade ÿ de son premier membre.