Sc l’on représente par
10 AL + Aa? +. ..+ axxh (10)
quelque polynome entier en x sans terme constant, par Lux une nouvelle variable et par
(11) fatæ, de) = xh[Tx (vx) + rO7(%, vx)|
la série entière en x, vx mise sous la forme (2), qu'on obtient en opérant dans f(x, u) la substitution
(12) U—= Gr +... + ain + Lg x, %
la série My(vx) se réduit nécessairement à quelque polynome entier [non identiquement nul puisque f;, représente l’exposant de la plus haute puissance de x qui divise tous les termes effectifs de fr(x, vy) |. 8
Si en outre l’équation (1) possède les g racines olotropes (6) aux degrés de multiplicité (5) et si dans tous leurs développe- | ments les termes de degrés £ k forment le méme polynome (10), l'équation numérique entière en vx
admet la racine ax à un degré de multiplicité (3) qui est au moins égal à
Mr Mar... + My
Si enfin l’équation (13) n’a point de racine égale à ar, l’équation (1) ne possède aucune racine olotrope dont le développement commence par les termes du polynome (10).
CS
I. Même avant toute réduction, le développement de (14) CT, at +... .+ap ak t+ vf) ne peut donner que des termes en z’v; où l’on a
(15) r2f+ks.
Car, la nouvelle variable v; n’entrant dans le second membre de la substitution (12) que par le terme vx où elle figure au premier degré et multipliée par x#, tout terme du développement dela parte quelconque
(16) AfsritR(ait +..,+ Agir 1 + vy x )S
