CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

de la série composée (14), qui est divisible par vf l’est forcément aussi par xt®+#$ au moins et par suite, quel que soit R, Dar 2

au moins. On en conclut l'inégalité (15) entraînant

et toutes deux subsistent après la réduction, puisque celte opéraion n’introduit aucun terme dissemblable à ceux existant avant elle.

L'ordination ultérieure donne donc pour coefficient de x”, une série entière en vx ne pouvant renfermer, quel que soit 7, aucun

terme effecuf de degré supérieur au plus grand entier contenu r—t

k nôme entier, ce qui à lieu en particulier pour [;(v;) coefficient de x'%x.

dans

. Cette série se réduit donc toujours à quelque poly-

Il. En vertu de l'hypothèse admise, on a pour toute valeur de l'indice & di X +. . . + (44 4] xh—1 —— VE — D;(x)

= Th [oz — ax — (a ur Fa æ+...)].

À cause de la relation (7), la substitution (12) change donc f(x, uw) en

7 xhimi+. …+me)+ (), x [ (vx HA A) Matte x 0z(æ, o)] | XX [STI 04) + T &8;(x, vx) ],

f(x, vx) étant quelque série entière en x, vx, et x Et[ (81; (0x) LT (8#8;(+, vg)]

représentant la forme analogue à (11), du résultat obtenu en opérant la substitution (12) dans (8) f(x, u).

Maintenant, l’exactitude de la seconde partie de notre énoncé résulte de l'identité

IT: (vx) — (vg 2% A )MitetMe (&ITz (vx)

que donne l'identification des termes de moindre degré en x dans chacune des expressions (11), (18).

130 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE. [IT. Si l'équation proposée (1) avait la racine olotrope AjC +... AEORAELES,

l'équation numérique (13) admettrait au moins une fois la racine &y,

comme nous venons de le constater, et l'hypothèse de la troisième