CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

degré de mulüplicité d’une racine d’une équation entière quelconque ne peut Jamais surpasser le degré effectif de celle-ci.

On a ensuite, toujours quel que soit k, (24) ÿ =Ùdy.

Effecuvement, cela même avant toute réduction, le développement de la série composée (14) contient, quel que soit l’entier L un terme en æ+#bu*, mais aucun autre semblable. Car la nature même de la formule du binome impose aux exposants de æ, uy dans chacun des termes provenant du développement de l’expression (16), les formes simultanées

fHR+is+2s ++ Ksp, 52

OÙ S3, S2, ..., sx désignent les éléments de quelque système de solutions positives ou nulles de Péquation indéterminée en nombres

entiers S1+ S—+...+ sx —=S.

Pour que ces exposants soient égaux précisément à f+Au,u, il est donc suffisant, mais nécessaire aussi, de faire

te Sn = dre SH m0, SR,

d'où R—o, S— y, c'est-à-dire de prendre le terme unique de la

forme voulue Afu vit uv}

qui existe dans le développement de l'expression (16) q PP Ï È

pour R —o. DFA

Pour certaines valeurs de 1, ce terme peuüL avoir un coefficient nul; mais 1l est effectif quel que soit Æ pour 4 — 9, car alors son coefficient Ar, est celui même du terme principal de /(x, u) qui est essentiellement non — 0. Étant unique de son espèce, il ne peut être détruit par aucune réduction ultérieure, et il subsiste ainsi comme terme effectif dans la série (1 1), ce qui donne évi-

demment fr + kg.

102 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE: La relation (15) donne d’ailleurs

Dre J ?

inégalité qu'il suffit de combiner avec la précédente pour trouver celle que nous voulons établir (24).

Plus généralement on a, quel que soit p(> 0), (29) MzZ dp+pe

Si la substitution (26) 0x = dx + Ur

transforme la série (11) entière par rapport à +, v;, en cette autre de même nature relativement à æ, ux

(27) fk(æ, ur) xh[Pr(ux) + xT4(x, uxr)l,

on aura évidemment

Pur) = Ux(ax+ ux) et avec cela

Dik+p | Lx+p(04k+p) + TOx+p(?, Vx+p)l = Trtp(T 0Etp) TNT EEE AREp 1er PA ax dpepT*+P) — 14%, Ax41L NL ECpDELTPIEE dprpæËtP),

parce que la substitution

(29) U—= dr +... + agi +... + Gpip-1 TE PONS) TE peut être considérée comme composée de (12), de (26) et de (30) Ug = ART +... + Apip TP + by DEP:

En outre M; degré de multiplicité de a; considéré comme racine de l'équation (13) est l’exposant de la plus haute puissance de v;— ax qui divise Iz;(vx), celui par conséquent de la plus haute puissance de wx qui divise Px(ux) = Iy(ax+ wx), c'est à-dire ce que nous avons appelé le grade (par rapport à w4) de la série (27).

Maintenant la relation à démontrer (25) n’est plus autre chose