CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES
que la relation (24) appliquée à la série (20) re te Ux4p) déduite de f,(æ, wx) par la substitution (30) exactement comme LAURENT UN l'avait été de f(x, u) par la substitution (12).
Cela posé, la première des inégalités (21) est la relation (24) pour Æ = 1; les autres de rangs impairs se déduisent de la rela- Liôn (25) en y prenant p — 1, puis y faisant successivement # — 1, >, ...: celles enfin de rangs pairs sont toutes contenues dans la relation (23).
11” Supposons d’abord que l’on ait indéfiniment (31) D = ML De ANS. = /NL
cas auquel les premiers membres des équations numériques (20) prennent tous les formes simples
DL Qi), ma(va— a), ..., wa(vx— ax)”,
Gi; WG, .-. représentant certaines constantes (non nulles). Sup-
posons en outre, pour plus de simplicité, que la série æ'D{u) se
réduise au terme principal de f(x, u), que nous représenterons
maintenant par wz!u”, en sorte que l’on ait [formule (2)] J(æ, u)= zi[wum+xE(x, u)].
De la relation générale évidente
JT, r+...+ ap ixk-1+ vx)
do, — aix (0,0 (x, dl +... AL srl vx; æÀ)
où l’on a représenté par f(x, u), t une fonction olotrope et un indice de différentiation quelconques, on déduit ici en particulier
Vo | bem Earaict vec) oil fra, ve) U k
(32) « = ririk LC —1)...(m—1+i)wg(vg — ax )"—i
di E 8z:(x, »)| .
TT d
En y faisant 2 — 1, 2, ..., m—1, cette relation montre que pour chacune des dérivées
Fox, u), f(x, u), ..., fiom-(x, u),
la suite (19) jouit exactement des propriétés admises pour f(æ,u)
dans la seconde partie de notre énoncé, à cela près que la valeur invariable des entiers (31) s’abaisse à
M —1, -(M—2), SN respectivement.
Ceci a lieu en paruculier pour la dernière
fom-V(x, u)=xi[m(m—1)...2.vu+ gElm-U(x, u)];
comme elle n’est plus que de grade 1, l'équation obtenue en l’égalant à zéro possède une seule racine olotrope en æ = 0 (131), et le développement de cette racine ne peut être que la série (22). Effectivement le théorème du n° 135 montre que les coefficrents de ce développement satisfont nécessairement et respectivement
aux équations linéaires m(m—1)...2.m(u—@)=m(mi1).. 2.Wa(V2 — A2) =... = 0:
Cette série (22), qui représente ainsi une fonction olotrope en æ — 0, admet donc bien quelque rayon de convergence > 0. En supposant maintenant que Ux SOIL remplacé par
Ap + Asie.
quotient de la division par x de l'excès de la somme de la série (22) sur la somme de ses À — 1 premiers termes, le dernier membre de la relation (32) représente évidemment, à cause de cette relation elle-même, le résultat de la substitution de cette série à uw dans f(x, u).
L’inégalité (19) appliquée au terme en æUu?
pl existant dans le second membre de la relation (11) donne
fx 2 + Adx, et ici à cause de d; = m fk2t+ km, d’où fx —1k2t+ k(m—i).
D'autre part, v4— &x étant maintenant une série entière sans terme constant, le second facteur de l'expression (32) en est cerlainement une dont tous les termes effectifs contiennent en fac-
