U—= UT + AT

annule identiquement f(x, uw) et ses m—1 premières dérivées par rapport à w.

Mais si é — m, le second facteur de la même expression (32) devient la série

1,2... MO XL Rare BEL dr) Je

dont le terme constant ne peut être nul et la substitution dont il s'agit ne peut annuler identiquement f(0#)(x, u). L'équation proposée (1) admet donc bien la racine (22) au degré de multiplicité m.

III. Supposons enfin que les termes de la suite (21) soient égaux à 2, seulement à partir de M; inclusivement, et, de même que pour établir l'inégalité (25), transformons f(x,u) en fx(x, ux), par la substitution |

U—=dT+...+ ap ath le (ar + ux)æxf,

composée de (12) et de (26). Le grade de f(x, ux) étant précisément M; comme nous l’avons constaté à cette occasion, le polynome P;(wx) se réduit à quelque monome effectif tel que pzu, parce que son degré effectif d; et son grade My; sont tous deux

supposés — 7», d’où fk(æ, ur) = ch[pru + xTz(x, ux)].

En outre, les suites | dp+is kits .,

LPS PEN (PE RON PRES: à)

jouissent évidemment, par rapport à cette fonction, des mêmes propriétés exactement que celles attribuées ci-dessus (11) aux suites analogues (19), (31) relativement à f(x, u). L'équation

La Ux) —= O admet donc au degré m de multiplicité, la racine olotrope (33) Ur = Apy1T + AptoT? +...

Mais, en raisonnant comme nous l’avons fait pour obtenir la relation (32), on trouvera

FOX, ax + art+...=foi(x, ax +... +a;xkEubxh) GR EAL PT)", ou 0,

selon que # est << m ou — mn. La série (22) est donc bien encore racine multiple de degré m de l’équation proposée (1), ce qui généralise complètement l'exactitude de la dernière partie de notre énoncé.

137. Ces diverses propositions ramènent évidemment la recherche des racines olotropes distinctes de l'équation (1), la supputation de leurs degrés de multiplicité, au calcul de toutes les suites pouvant jouir des propriétés supposées à la suite (19) dans la dernière partie de l’énoncé du théorème précédent. On procédera comme il suit.