CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

fournira l'équation Il2 (02) = O

à résoudre pour avoir les seconds coefficients des développements des racines olotropes qui peuvent commencer par a, x.

S1 cette nouvelle équation a encore quelque racine &:, on cherchera a; parmi celles de l’équation

Il: (03) IT O, déduite de la substitution

U = AT + GX? + V3 T8,

et ainsi de suite, les coefficients déjà obtenus fournissant toujours les données nécessaires au calcul du suivant.

S1 le degré d diminue jusqu’à zéro, l'opération ne peut être poursuivie, et l'équation proposée (1) n’a aucune racine (olotrope) dont le développement commence par les termes obtenus jusqu’à ce moment (135).

S1, pour l'équation [;—o et les suivantes, il finit par conserver la valeur constante rm >> 0, les équations subséquentes de la suite (20) n'auront plus jamais qu’une seule racine de degré de muluplicité m. Pour poursuivre le développement de la racine olotrope de même degré de multiplicité m, qui alors (136, IT) appartient à l'équation (1), on aura avantage à en tirer le reste de Péquation bien plus simple obtenue en différentiant m — 1 fois

par rapport à wx (136, IT) l'équation AR TE AE EUR) =,

qui admet m» fois aussi la racine (33), comme nous l'avons constaté incidemment ci-dessus.

Il. L’exécution de la substitution générale (12) se simplifie dans une mesure considérable, quand on utilise les résultats, alors connus, des substitutions antérieures.

Comme nous en avons déjà fait implicitement la remarque, la substitution (29) est composée de (12) et de

(34) Dé Ag + April HF Apépi TP + Vrrp@P,

et l’on a évidemment

a+ [Tyep(0rep) + TOx+p(T, V+p)] — dû [I (ag + Apiit +... +oprpaP) + xOx(X, ax +... HvprpwP)].

Pour former la (4 + pe équation (20), il suffit donc (en néoliseant le facteur insignifiant xx) d'opérer simplement la sub- ‘olgéte) O

sutution (34) dans (35) I(vx) + rx (x, vx),

et d’égaler à zéro le coefficient de la moindre puissance de + subsistant dans le développement du résultat, réduit, puis ordonné pie rapport à cette variable.

Le fractionnement de l'opération donne évidemment tous ses avantages, quand on le pousse à l’extrème en rendant indécomposables les substuitutions (34), c’est-à-dire quand on prend toujours p = 1. Alors et pour toute valeur de #, l’équation Il;,, (ux1)= 0 se tire du résultat, traité comme nous venons de l’expliquer, de la

simple substitution linéaire

0x = Ar Vx+1®;

faite dans la série (35).

I. Pour obtenir la totalité des racines olotropes de l’équation (1), 11 suffit d'employer à la formation de suites analogues à (19), toutes les racines des équations numériques (20) (16), disposées dans un ordre de succession convenable. Une image matérielle fera peut-être mieux saisir la marche générale et les résultats de cette opération.

Prenons ÿ rubans de mème largeur, illimités dans les deux sens et indéfiniment divisés, dans leur longueur, par des traits transversaux, en des segments tous d’une même longueur quelconque; empilons-les, tendus en ligne droite, face sur face, lisière sur lisière, trait sur trait, maintenons-les par une ligalure serrée au niveau d’un trait, et rejetons tout ce que détache de la liasse une section générale opérée à gauche et tout près du lien. Sur chacun d'eux inscrivons la quantité o entre ce lien et le premier trait à sa droite, puis pratiquons une deuxième ligature au niveau de tous ces

premiers traits.