CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

Ceci fait, considérons la première équation (20) de degré D,. Si Ÿ, est ÿ, nous commencerons par couper 4 — D, rubans entre la dernière ligature et leurs premiers traits à sa droite, pour rejeter définitivement de la lasse tout ce que ces coupures en ont déta- D Pnappelantiensuite :af), a), . 24. aflet ml), mi, ..., me les racines numériquement distinctes de cette équation et leurs degrés de multiplicité, nous diviserons le surplus de la liasse en g, liasses partielles composées respectivement de ml), m°, ... et ms rubans infinis vers la droite; nous inscrirons la quantité a! sur chacun des m, rubans de la première, entre la dernière ligature et les premiers traits à sa droite, puis nous la consoliderons par une nouvelle ligature couvrant tous ces nouveaux traits, et nous ferons de même pour chacun des g, — 1 autres liasses partielles, à cela près qu’au lieu de a) les premiers segments de leurs rubans porteront les inscriptions &ÿ dans la seconde, a” dans la troisième, et ainsi de suite.

La racine af conduira, par la substitution v, = a!) + uv}, à l’équation (VIT, (uv?) — o au moyen de laquelle on coupera, marquera et ligaturera en sous-liasses tous les rubans de la première liasse paruelle, exactement comme nous l'avons indiqué pour la liasse totale. On procédera de même pour la seconde liasse partielle au moyen de l’équation ®I, (0?) —o provenant de la substitution v,— af + UŸ), pour la troisième, ... et ainsi de suite en recommençant indéfiniment pour ces sous-liasses, pour celles provenant de leur division, pour les faisceaux suivants, etc., ce que nous avons fait pour la liasse totale après la seconde ligature.

Si tôt ou tard les rubans arrivent à être tous coupés, l'équation proposée (1) n’a aucune racine olotrope. Sinon, chaque lasse par- : lielle saisie à droite de la première ligature au delà de laquelle il ny a plus à en subdiviser ni à en couper les rubans, détachée de la liasse générale et débarrassée des rubans coupés qui peuvent s’y trouver mélés, correspondra à une racine de l'équation (1) : le nombre des rubans de longueurs infinies qui la composent marque le degré de multiplicité de cette racine, et les coefficients du développement de celle-ci se trouvent écrits sur chacun d'eux dans leur ordre de succession naturel. Les développements de racines fournies par des liasses partielles différentes peuvent avoir les mêmes coefficients jusqu’à tels ou tels termes; mais on finit tou-

jours par y rencontrer des coefficients de mêmes rangs qui sont inégaux, et les racines ne sont jamais identiques.

138. Dans les développements des diverses racines olotropes de l’équation (1), les termes à coefficients nuls ne comptent pour rien au point de vue numérique, et il y a un intérêt évident à opérer de manière à n’obtenir que les termes effectifs de ces développements, à éviter ainsi dans chacun d’eux les substitutions souvent nombreuses et pour ainsi dire sans objet que la méthode générale impose pour passer de chaque terme effectif au suivant. |

On remarquera d’abord que l’existence d’une racine dont le développement ne contient aucun terme effectif, c’est-à-dire de la racine u = 0 (quelle que soit x), est indiquée par celle de quelque puissance de u divisant tous les termes effectifs de J(x,u), et que son degré de multiplicité est précisément l’exposant maximum d’une pareille puissance.

On réussit à calculer exclusivement et successivement les termes effectifs des développements des autres racines par le procédé suivant qui comporte naturellement la détermination simultanée de leurs degrés. Cette méthode est très expéditive pour séparer les racines de l'équation (1), c’est-à-dire pour arriver aux premiers termes de leurs développements dont les coefficients ne sont pas égaux, opération importante à laquelle se limitent dans la pratique les calculs indéfinis expliqués ci-dessus; de plus, elle nous rendra bientôt un service théorique des plus importants (141, énf.).

Appelons k, le degré inconnu du premier terme effectif du développement de la racine (22) que la suppression des termes précédents à coefficients nuls réduit ainsi à

ET ot mr US

où a,, est essentiellement différent de o. Comme on a par hypothèse a; = 43 —...— à, ;—0, la substitution correspondante (12),

se réduisant à PART

est d’une exécution directe aussi facile que si Æ, était — 1, à cela près que cet exposant est inconnu. Le premier membre de notre