CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

équation (1) devient ainsi (36) Je, 0,2) = dim [x (04) + æ x, (æ, v4,)],

3 L] LL L3 , . « et l’entier X,, ainsi que le polynome Il, (v,) réduit à ses termes effectifs, sont caractérisés par ces trois particularités essentielles qui suffisent à leur détermination : 1° à cause de la nature monome de la subsutution, ce polynome a pour coefficients ceux mémes de certains termes effectifs ‘de la série f(x, u); L bg 97, . L 2 .

2° puisqu'il s'évanouit pour v; = &,, quantité essentiellement supposée non —0, £/ contient au moins deux termes effectifs; 3° x Il, (v,,) est l’ensemble des termes effectifs de moindre degré commun en x (en nombre 52) dans l’expression (36) ordonnée par rapport à x.

Soient

(37) Aprrs'æT us, Apr sa” us”

deux termes effectifs (dissemblables) de f(x, uw), donnant dans la série (36) les termes de degrés égaux en x

As ms 0, Apr sn mi is" vf, cas auquel, en appelant + la valeur commune de ces degrés, on à

Lt LUMENE SUNUN Peu | 7 + Ærs — T,

( ) | 2 k,s” 2 mé soit encore

(39) Arsæ'us,

quelque autre terme effectif de f(x, u) en donnant un dans la série (36), dont

(40) r + kis = 0

est le degré par rapport à x.

Les équations (38) conduisent d’abord à

Aie r"s' ren Ts" — Si ki(r'"s"— US) == T(r— 5 8 d’où PROC (41) PAS LT RIT ANT | 2 0,

parce qu'on ne peut avoir ni s — s— 7/— 7/— 0, à Cause dela dissemblance des termes (33), ni + —0. Combinées avec l’équa-

ion (40), elles donnent facilement ensuite

FO EN OES LL 7 À (42) Co ec dr” ss | 25 T1 EE INSEE I 1 M S 4 I 1 ! S [/4

en vertu de quoi la différence + —{ est nulle, négative ou positive, selon que le second déterminant est nul, de signe contraire ou identique à celui du premier.

Pour que les termes (37) fournissent à quelque polynome de la nature de Il, (vu; ) les termes

VA mt D) / 107 Ày',s' x, 9 Ayr,s JE

il faut donc que le déterminant (41) ne soit pas nul, puis que pour tout autre terme (39) on ait 02, c’est-à-dire que le second des déterminants della relation (42) soit de signe contraire au premier, ou bien encore nul, cas auquel Ap,sUf, est ausst un terme du même polynome.

Les termes de coefficients A, r, A7,s", Apr. e. qui peuvent appartenir à un même polynome de cette espèce ayant été tous découverts ainsi, les équations (38) et analogues donnent ensuite

el 1l faut en outre que cette valeur de k, soit un entier positif. Ces trois conditions sont évidemment suffisantes et permettent

d’abord d'obtenir les valeurs dont l’exposant k, est susceptible

pour les diverses racines de l'équation proposée (1), puis de former

pour chacune d’elles l'équation numérique

(41) Ux,(vx,) = 0,

dont les racines non nulles sont seules à garder, aux mêmes degrés de multiplicité, comme valeurs possibles de As

Pour obtenir ensuite-le second terme effectif de quelque racine olotrope

(45) ar, th + ax, rh +,