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de tous les termes effectifs de f(x, u) [ puis ultérieurement de fe, ax + wy,), ..., nouvelles séries entières en , uy,, .. Al par des points ayant respectivement les premiers el seconds éléments de ces diverses paires, pour abscisses et ordonnées dans un

système de coordonnées rectiligses planes dont, pour fixer les idées, nous supposerons les axes, le premier horizontal, le second vertical. Comme ces exposants ne sont jamais négatifs, tous ces points ou /alons tombent nécessairement sur les parties positives des axes et dans leur angle. Pour f(x, u) aucun d’eux ne peut se trouver à l’origine, parce que cette première série est supposée ne point avoir de terme constant.

Considérons maintenant la droite ® menée par deux jalons (r!, 5"), (7, s') représentant des termes de f(x, u), propres à en fournir deux correspondants dans une équation du genre de (44). La première condition analytique à laquelle sont assujettis ces exposants, la non-nullité du déterminant (41), impose à la droite ® la condition géométrique de ne pas passer par l’origine. La deuxième impose à la même droite celle de contenir tout jalon (r, s) correspondant à quelque autre terme de la même équation numérique et de partager le plan des axes en deux demiplans contenant le premier l’origine, le second la totalité des autres jalons. Car, en appelant r, s les coordonnées courantes, l'équation

représente précisément la droite ®, et 1° le jalon (7, s) est situé sur elle quand le second des déterminants (42) est nul, 2° «il tombe ou non par rapport à elle du même côté que l’origine, selon que les signes de ces deux déterminants sont identiques ou opposés. Quant à la troisième condition, elle impose d’abord à la même droite celle d’avoir sa parallèle par l’origine dirigée à l’intérieur des angles des axes opposés au sommet, où les coordonnées d’un même point sont toujours de signes contraires.

Il en résulte que toutes les droites @ ne peuvent se trouver que parmi les / droites ®,, @2, ..., ®, dont nous allons assigner les positions. Appelants, la plus faible valeur de s dans les couples (46) et 7, la plus faible valeur de 7 dans ceux où s = 59, nous tracerons d'abord par le jalon (r5, so) une droite horizontale , qui évidemment ne laissera aucun jalon au-dessous d’elle, et n’en contiendra point à gauche de celui-ci; puis nous la ferons tourner autour de