CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

ce même Jalon, d’une manière continue et dans le sens rétrograde, Jusqu'à sa première position (D, où, sans avoir été verticale, elle passe par un autre Jalon au moins ou bien par plusieurs, le cas échéant (tous d'abscisses inférieures à 7°, d'ordonnées supérieures à 5). Nous appellerons

CF S0o ); TON CHOSE (ra ns)

la totalité des jalons qui tombent alors sur @,, écrits dans l’ordre A nr... ri, eL aussi par suite, à cause de la direction de cette droite, 55, <5,<...<5,. Nous lui ferons poursuivre ce même mouvement de rotation autour de (ris S1) pris ensuite pour pivot, jusqu'à une nouvelle position @2 où, toujours sans avoir passé par la direction verticale et sans avoir franchi aucun jalon, elle en contiendra deux ou plus que nous écrirons dans un ordre analogue

Cr Si); (4 Ce QUE (ro; S2),

puis de même en prenant pour pivot (2,8), puis (73,53), et ainsi de suite jusqu’à une dernière position @/ contenant les jalons

(ri-1, Sy-1); RAI Fo), ….) (74 se (4 “ir 9),

et au delà de laquelle une nouvelle rotation rétrograde autour de (É, #) ne pourrait l’amener à passer par un nouveau jalon sans lui faire atteindre ou franchir la direction verticale.

Les droites @,, @2, ..., (7, contenant respectivement les groupes de jalons :

| (ro; So), AE AR CS ROME (Ass), CAMETEE (CARE D PNR PEL SE TR AUDE, Se )s

(47) CTI: Sj—1); BE NE QE RE ANR NA ; CL 9),

et réduites aux segments compris entre leurs jalons extrêmes, forment ainsi une enceinte parüelle à l’ensemble de tous les jalons (46), ou graphique de l'équation proposée (1), dont tous les côtés sont obliques à l’axe horizontal des coordonnées, en donnant des valeurs essentiellement positives à la quantité 4, définie par les formules (43).

M TI. he

Mais on ne retiendra comme utiles, c'est-à-dire indiquant des groupes de termes de f(x, u) qui conduisent à des équations numériques du genre de (44), que ceux donnant à k, des valeurs entières. Le côté D; sera utile ou non, selon que la valeur commune des fractions positives

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sera où non un nombre entier k,. Dans le premier cas, l'équation numérique correspondante se réduit à

(49) As 0 D RÉ MÉOET D Rae LE Are (EE Ari usis 20; après suppression des racines nulles.

Le nombre et les positions des côtés utiles sont entièrement subordonnés aux circonstances numériques de la question. Nous y adjoindrons la droite horizontale ®, qui allonge l'enceinte en deçà, quand elle laissera l’origine au-dessous d’elle; car alors s, est > 0, u*est la puissance de x d’exposant maximum qui divise tous les termes effectifs de f(æ, u), et l’équation proposée (1) possède la racine uw — 0 (quelle que soit æ), au degré de muluplicilé 59 marqué précisément par la hauteur de ®, au-dessus de l'axe horizontal.

De nouveaux graphiques construits suivant les mêmes règles pour les séries subséquentes f(x, ax x" + ux), -.- permettront de prolonger aussi loin que possible, par des termes effecufs, les développements commencés antérieurement, et aussi de découvrir par la survenue de côtés horizontaux utiles, l'existence de racines secondaires identiquement nulles réduisant à des polynomes entiers certaines racines olotropes de l'équation proposée (1). l 140. Si la somme des degrés de multiplicité des racines

olotropes inégales dont nous venons d’expliquer le calcul est égale au grade de f(x, u), l'équation (1) n'a plus aucune autre racine (olotrope ou non).