CHAPITRE I: — FONCTIONS OLOTROPES

possède quelque racine, ou bien quelque valeur infinie de u donne |

(2) lim f(u) = X, ou bien f(x) dégénère en une constante.

S1 le premier fait énoncé n’a pas lieu, ni le troisième non plus, la fonction de w,

n a aucun zéro et ne se réduit pas à une constante; de plus, comme elle est indéfiniment olotrope, son inverse arithmétique l’est pareillement (250*, Il) et ne dégénère pas en une constante. On en conclut par ce qui précède (8) l’existence de quelque valeur infinie de w, rendant infinie l'expression

rendant par suite infiniment petit son dénominateur (3), ou bien, ce qui revient au même, donnant la relation (2).

10. Les deux propositions précédentes ont lieu et se démontrent de la même manière pour un nombre quelconque de variables indépendantes. Elles montrent que toutes les valeurs imaginables, méme l’infini, st l’on peut parler ainsi, sont accessibles à une Jonction indéfiniment olotrope(ne dégénérant pas en une constante).

11: Sous les mêmes conditions comprenant en outre pour f(u) celle de ne pas dégénérer en une constante, et en appelant (4) EAU les zéros que peut posséder f(u), en posant (5) a=f(b), d'=/f(b"), et

(6) | To = f(Uo),

où us est une quantité non égale à quelque terme de la suite (4), mais d’ailleurs arbitraire, l'équation numérique (1) n’a pas d’autres racines que les termes de la suite (4) satisfaisant par hasard à cette équation, avec les valeurs acquises .au bout de tous les'chemins tracés de x, à X sans contenir aucun des points (5), par la fonction implicite u = Ÿ(x) que définit l'équation |

(7) TIQUE) EE accompagnée de la condition initiale U —= U) pour AVE lo;

dont l’égalité (6) autorise l’adoption.

I. Soit Ü une racine de l’équation numérique (1), ne se trouvant pas dans la suite (4). Comme dans tout espace limité, les quantités (4), zéros de f’(u), ne peuvent être contenues qu’en nombre essentiellement limité, parce que f'(u) y est olotrope mais non identiquement nulle (4), on peut évidemment découper dans le plan servant à la notation graphique de w une aire limitée S, contenant les points w,, U à la fois, mais aucun des points (4), et de configuration telle qu’on puisse y tracer de wo à U une ligne brisée dont les côtés sont de pelitesse arbitraire.

Il. On peut assigner une quantité positive Y telle, que deux racines de l’équation (7), résolue numériquement par rapport à u pour une valeur quelconque de x, soient égales toutes les fois que l’une d’elles est intérieure à S, et que le module de leur différence ne surpasse pas Y.

C’est une simple conséquence particulière du théorème général (308*) qui est applicable ici; effectivement f(u)— x, premier membre de l'équation (7) mise sous la forme normale, est une fonction indéfiniment olotrope, et sa dérivée par rapport à w se réduit à f’(u), fonction indépendante de +, pour cette cause ainsi que par hypothèse, non — o pour toute valeur de x associée . avec toute valeur de w tombant dans S,.