CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

fonction de tolotrope et nulle ent—o,eten appelant (Mf(+", u) une fonction de ?, u, olotrope en t—=u—o, de grade nul, et dans tous les termes effectifs du développement de laquelle les exposants de ? sont divisibles par n, on a l’identité

GENE uw)... [u—V(aurv)]r[u— (arm)... [u— V(avrm)]" |... Un (et, u),

où les points remplacent des groupes de facteurs semblables à celui mis en évidence entre des accolades, et où deux quelconques des facteurs linéaires en u placés entre crochets ne peuvent être identiques.

On a de plus pour chaque groupe

(59) ONE 10 et pour leur ensemble (60) 2 [VE] =D:

Comme l'équation (5o) ne peut avoir la racine d(+5) sans avoir aussi, au même degré de muluplicité, toutes les autres du groupe (57) (1), la relation (7) appliquée à f(+", w), en faisant intervenir la totalité des racines de celte même équation, donne une identilé de la forme

Du)... [u—d(urs)]m...[u—d(ars)]" | FE (ra):

où tous les facteurs entre crochets sont différents, pour laquelle les égalités (9), (55 bis) ont lieu, et où (MF(#, w) est forcément de grade o.

Maintenant, le développement de l’expression (61) [u— Vars )][u—d(axs)]...[u—d(a:s)]

en série entière par rapport à +, se décompose évidemment en termes de la forme

B( DE [AE AA ak ) eithit. HAIT,

où le coefficient B est indépendant de #, et où le second facteur est une fonction symétrique des racines de l’équation binome (56), de la nature de celles faisant l’objet du théorème du n° 114.

Comme cette fonction symétrique se réduit à o, quand la somme

ki + k+...+Kk,

n’est pas divisible par v, les exposants de t dans tous les termes effecufs du développement de (61) sont divisibles par 5 = n, et la relation est nécessairement de la forme

fasu)=... il (re w)}r | 6) RENE

où les composantes ..., W, ... sont olotropes en 0, o. Dans les termes effectifs du dernier facteur (#F(#, uw), il faut donc aussi que les exposants de t soient tous divisibles par nt, sans

quoi 1ls ne pourraient l’être dans ceux de f(t", w), produit de tous ces facteurs. On a donc

VOF (+, u) — FC, u),

ce qu'il restait à constater.