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CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES. 157 | Ni: ï | ER La substitution {= x" transforme effectivement l'identité (58) en

( 1\ | / | in 1\ | ) (OM (Tu) =... MC) RENE Les Peel :..(W)f(æ, u),

pour laquelle l'égalité (60) subsiste, et le dernier facteur étant de srade o ne peut s'évanouir par la substitution à &w d’aucune fonction de æ tendant vers o avec cette variable (130); les seules racines de l’équation (1) sont donc les fonctions Ÿ figurant entre les crochets, dont la nature a été spécifiée conformément à notre

énoncé dans le numéro précédent.

Comme y est posilif, æ” et, par suite, toutes ces racines tendent

vers o avec æ (103).

1\5 À cause de l'égalité (59), (an) est l’une des déterminatuons du

radical x”, dont l’ensemble est

1 1 1 AE de EN SN IR ANS AT OUEV.

Pour une valeur de y — 1, cet ensemble se réduit à +, et l’on à une racine (simple ou multiple) de la forme

bixmi+ b:2xm:+..., partant olotrope.

Pour une valeur de y => 1, cet ensemble content plusieurs termes et donne y racines non olotropes en x —o. Car, si l’on avait, par exemple,

ne a

biz +baæt+...=bo+bhir +hon +...

il viendrait aussi en changeant x en x” FAUNE ba xD: +. . — Lo + b4z'V —— ba x'2V SR

identité impossible puisque les exposants sont divisibles par » dans le second membre, alors qu’ils ne le sont pas dans tous les termes effectifs du premier.

À ces y racines correspondent, dans la relation (62), y binomes élevés à des puissances d'un même exposant 72 auquel nous conservons le nom de degré de multiplicité des racines dont il s’agit,

158 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE. comme si elles étaient olotropes. Il est évident, en effet, que la

Î substitution uw — Lx) annule identiquement f(x, u)et ses m —:

premières dérivées par rapport à w, mais non la mi" parce que toutes les racines considérées sont inégales (142, IT). La fin de l’énoncé est l’égalité (60) formulée en langage ordinaire.

144. Pour étendre tout ce qui précède au cas de valeurs initiales quelconques x,, us rendant f(x, u) nulle, mais toujours olotrope, il suffit d'y remplacer +, u par les différences + — x, u — uo. Car la double substutution x — x, — x’, u — wo — u!ramène l’équation proposée (1) à cette autre

HE Lu.) = f( To #8 HE LU =0

à résoudre à partir de x'= w'— 0 valeurs pour lesquelles son premier membre est aussi olotrope et nul.

Si, comme il importe de le faire toujours, on a divisé f(x, u) par (æ — x,)', plus haute puissance de + — x, figurant comme facteur dans tous les termes effectifs de son développement par la formule de Taylor, le grade de f(x’, u!) est l’ordre g de la première des fonctions

que l’hypothèse numérique &æ = +5, u = uo n’annule pas, c’està-dire le degré de multiplicité (3) de us considérée comme racine de l’équation numérique

(65) (aa) = 0

En désignant encore par Ÿ(£) la composante définie ci-dessus (143), mais augmentée de la constante w,, le théorème précédent se change en celui-ci :

Chaque racine de l’équation proposée (1), tendant vers w quand x tend vers +5, est de la forme < Di (ay (64) y [Ce = Uo + Dir — ro) * + Daft — 20) Ÿ +... à où le radical (x — x,) est susceptible de ses déterminations -indistinctement. |