CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

Toute racine où y —1 est olotrope en x,. Les autres ne le

sont pas, et celles qui sont formées avec la méme composante Ÿ et les diverses déterminations d’un même radical (x — x)

ont toutes un même degré de multiplicité.

La somme des degrés de multiplicité de toutes les racines inésales reproduit ÿ, méme nombre pour la racine numérique us de l’équation (63), qut est leur valeur initiale commune.

L'identité (62) devient enfin

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f(x, u) désignant ici une fonction qui en Zo, Uo Est toujours olotrope, mais ne S y évanoutt plus.

145. En raisonnant comme au n° 142, Il, on voit sans peine que le produit partiel

Co me) | PM Re a nv)

de y facteurs binomes du second membre de lidentité précédente, formés avec la même composante Ÿ et les y déterminations d’un

même radical (x — x,)’, se réduit à une fonction W(x, uw) entière et de degré y par rapport à w, olotrope en x, par rapport à x. Aucun autre groupement de ces facteurs ne pourrait donner des produits partiels de cette nature.

La formule (65 bis) M) an) ren Fu)

décompose donc f(x, u) en un produit de puissances de facteurs non identiques, tous olotropes en x = x,, entiers et de degrés minima par rapport à u, accompagnés d’un facteur complémentaire (Mf(x, u) olotrope mais non nul en & = x,

[42 —= Uo:

Si, contrairement à ce que nous supposons maintenant, f(x, u)

s’évanouissait quelle que soit w pour æ = &s, le produit compren- : f drait en outre un facteur de la forme (x — x,).

Cette formule est applicable à toute fonction olotrope de deux variables, mais seulement pour les valeurs de x, u suffisamment voisines de Zo, Uo.

146. La présence de racines multiples complique évidemment beaucoup leur séparation et leur développement, ainsi que tous les calculs où l'équation (1) est intéressée. Comme en Algèbre, on évite ces difficultés en déduisant de f(x, u), par des différentiations relatives à u et des divisions successives convenables, les premiers membres d'équations semblables à la proposée, mais n'ayant plus que des racines simples égales aux racines simples, doubles, triples, etc. de celle-ci. |

IT faut toujours commencer par cette simplification quand elle est pralicable, et raisonner en la supposant effectuée. Ici les opérations portent sur des séries et non plus sur de simples polynomes entiers ; mais, à cela près, leur mécanisme déduit de la relation (65) ou (65 bis) est analogue à celui de la méthode dite des racines égales, ce qui nous dispense d’y revenir.

147. En vertu de la relation (65) aucune racine de l’équation (1) ne peut annuler fN:1)(x, u) identiquement aussi, sans étre multiple. On peut toujours alors, comme nous venons de le voir, ramener celte équation à d’autres n'ayant plus que des racines simples et dont les premiers membres, encore olotropes, ne peuvent Jamais par suite s'évanouir identiquement à la fois, eux et leurs dérivées premières par rapport à u.

Cette décomposition du premier membre f(x, u) s'étend évidemment, par voie de cheminement, à toutes les valeurs des variables pour lesquelles 1l reste olotrope. C’est à elle que nous faisions allusion dans le n° 322 de notre première Partie.

Autres phases singulières des racines de la même équation.

148. Nous passons à l’examen d’autres cas, très intéressants aussi, qui échappent à la théorie générale des fonctions implicites et qui se ramènent immédiatement à celui que nous venons de traiter si longuement. |