CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

On dit que l'équation (1) J(X, u) 0)

résolue par rapport à w, a une racine infinie en x — x, quand une de ses racines, calculée (par cheminement) pour quelque valeur de x infiniment voisine de x,, est infinie.

L'équation

est alors satisfaite pour x — x,, u'—0, et s’il arrive, chose très fréquente, qu’elle y ait un premier membre olotrope ou bien seulement qu'elle soit équivalente à quelque autre

Jouissant de cette propriété, les notions précédemment acquises rendent très facile l'étude de ce qui se passe.

L'équation (2) possède alors (144) une ou plusieurs racines infiniment petites, simples ou multiples, dont chacune est de la

forme TD TD +1

D OT — 20)" D! (2 — 5) VU, TD 1 2 =(x — 0)" ee DT — 20) + bd, (x — NE ER ; |

où D, n’est pas nul et où, dans les termes effectifs, les numérateurs des exposants et leur dénominateur commun y n’ont aucun diviseur commun >> 1. Il en résulte

I pr | Le ae Rae CC ment. 118 LOU rares CIE À | u' ( 0) [ âr | :

ce qui donne Lo mel (3) u = bo(X — x) Ÿ + D,(x — 20) y Se ele série procédant suivant les puissances de (x — x,)' à exposants entiers et croissants, les premiers négatifs, où, comme tout à l'heure, b, n’est pas nul, dans laquelle aucun entier >1 ne peut diviser à la fois les numérateurs et le dénominateur commun y des exposants des termes effectifs.

C'est une fonction composée du radical (x —x,)" et de la compo-

sante bot + b,t-5t1 +... infinie mais méromorphe en {= 0 (40). Si l’on y réduisait à o les coefficients des termes à exposants négatifs, on retomberait sur la forme (64) du n° 144, que l’on peut ainsi considérer comme contenue dans ce développement.

149. On dit encore que pour æ infinie l'équation (1) a une racine finie wo, ou infinie, quand une de ses racines, calculée (par cheminement) pour quelque valeur infinie de +, tend vers w, dans le premier cas, est infinie dans le second. L’équation

(4) | f (ee u)=0

possède alors une racine finie ou infinie en t— #7, el NomCRst ramené aux deux cas précédemment étudiés, quand cette équation, ou sa transformée en w/', est équivalente à une autre dont le premier membre est olotrope en x'=,,u=us,ouenæ = is D EE

Pour des valeurs de x! suffisamment voisines de æ;, chacune des racines considérées de l'équation auxiliaire (4) est de la forme

TD TD+l u = uo+ bo(e— ei) + bi(a— me) Ÿ +.

dans le premier cas (144), de la forme

—T DH u = bota'— 09) bi: (TEE

dans le second (148). En remplaçant donc æ'—x, par et en

supposant modæ suffisamment grand, il vient pour le premier cas

S Us.

(oO G—1 (6) = bn 2e be NEO

Dans l'expression (5), les numérateurs el le dénominateur commun des exposants des termes effectifs n’ont aucun diviseur com= mun >> 1. C’est une fonction composée de la composante

uo + bot-B + b,t- (Gr ...,

olotrope à l’infini (51) et du radical Ti