CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

I. Comme dans Sx, la fonction implicite w déterminée par la valeur initiale qu'on lui impose en x, est localement olotrope partout ailleurs qu’aux valeurs critiques (4) (5), ilest certain, pour la raison déjà invoquée au n° 86, que l’un quelconque des chemins considérés est laissé équivalent à lui-même (c’est-à-dire qu'il ne cesse pas de conduire pour u à la même valeur finale en X) par toute déformation ne lut faisant franchir aucun des points dont il s'agit.

Si donc on trace par #9, à volonté mais une fois pour toutes, des boucles (ou lacets)

dont chacune (a) enveloppe une seule fois le point correspondant a à l'exclusion de tous les autres, puis un chemin [x, X | conduisant à X, que nous appellerons encore simple comme au n° S1, tout autre chemin tracé de x, à X équivaudra visiblement à quelqu'un de ceux qu’on peut former en parcourant d’abord des nombres de fois respectivement donnés, dans des sens de rotation (directs ou rétrogrades) respectivement donnés ausst, telles ou telles des boucles (10) (11) rangées dans un ordre de succession déterminée, puis après elles le chemin simple[x,X].

Cette observation réduit l'examen de tous les chemins imaginables à celui des tracés qu’on peut former en plaçant avant le chemin simple les diverses combinaisons de ces boucles.

II. Le parcours d’une boucle (a) de æ, à æ9, y ramenant w à une valeur que laisse invariable toute déformation de cette boucle ne lui faisant franchir aucune des valeurs critiques (4) (3), nous pourrons évidemment la former : 1° d’un chemin [x60/] tracé dans son intérieur jusqu'à un point # jouissant des propriétés spécifiées dans le n° 162; 2° d'un anneau [a] passant par Wen enveloppant 4 une seule fois et de telle sorte que la distance maximum de tous ses points à 4 soit inférieure aux plus petits des rayons de convergence des développements des racines de l’équation (1) qui ont pour limites les quantités (6) quand x tend vers 4; 30 du chemin [W/x,|, géométriquement identique à [x], mais

parcouru en sens contraire; et nous donnerons la même forme spéciale à chacune des autres boucles (10) (11).

III. Supposons maintenant qu'il s'agisse d’un chemin (x, X) réductible à la boucle (à) à parcourir une seule fois avant le chemin simple [x,X], et soient b(® la valeur acquise par w en

après le parcours du chemin [x,4/|, puis (04 bé —— a | celui des développements des racines de l'équation (1) tendant vers b quand x tend vers à, qui prend la valeur b() pour x = w.

S1 y — 1, le parcours de l’anneau [A] ramène w en 4” à sa valeur primiuve b0)—(04{y— a), et le parcours ultérieur de [4/x,] ramène «w en æ, à sa valeur initiale. Les choses se passent comme st la boucle (A) n'avait pas été placée avant le chemin simple.

Mais si v est > 1, et si l’on nomme « la racine principale directe de l'équation binôme

OV ESS f

1 ARE le parcours de l’anneau [a] fait passer (x — a)” de (W—na)” (en

désignant ainsi la valeur qu'il faut attribuer à ce radical en A’

pour que op] (a sy = b(o)) à a7!(a/— a)” selon que le sens de rotation est direct ou rétrograde (126), et w revient en A! avec

une nouvelle valeur b®1) — (0) per (a — aÿ |. Le parcours postérieur du chemin [1/x,] ramène u à une valeur différente de sa valeur initiale, et la dernière marche à faire sur le chemin simple [æ,X] conduit cette fonction en X à une valeur finale différente aussi de celle qu’elle y aurait atteinte sans l’adjonction de la boucle (a) faite en tête de lui.

Pour y=2onau—a t——1,et le sens du parcours deWa boucle (a) est sans influence sur le résultat (113).

IV. Quand la boucle (4) doit être parcourue k fois dans le sens direct ou rétrograde, les choses se passent de la même manière, à cela près que le passage de «’ à à’ sur l’anneau [a] multiplie

par &* la valeur primitive du radical (x — a)” (196), et qu'ainsi de passe de b(0) — (04 | ça! — a | à ED — (0) | LE Que aÿ |.

Si k n’est pas divisible par y, l’adjonction de cette boucle multiple change comme ci-dessus la valeur finale en X que le che-