IV. Comme enfin on peutécrire f(u + k)— f(u)—=ky(u, k

où, pour toute valeur de & tombant dans $, et pour tout module

de Æ inférieur à une certaine quantité positive,on peut assigner quelque limite supérieure à mod y(u, 4) (200*), il est possible de

tracer de wo à U, dans l’aire S,, une ligne brisée hésduus us. SU |, : Pr: P Y . ° dont les côtés soient tous < on donnant quel que soit z

(9) mod [ f(u;+1) — f(u:)] LC.

V. Tout cela posé, construisons dans le plan servant à la notation graphique de x la bigne brisée

[TOITS PIE ayant pour sommets les points %o = fu); FA Bebe AL TAN 5544 PB OU), RS XJR UT La quantité w, tombant dans l’aire S, et l'inégalité (9) donnant mod(æ— æo)< È < À,

on peut faire x — x, dans le développement en série entière par rapport à æ —æ, de la fonction implicite u — (x) définie dans notre énoncé, puisqu'elle n’est autre chose que l'intégrale de l'équation différentielle (8) complétée par la condition in1tale u— uw, pour x = %,; et en appelant w’ la valeur correspondante V(x,) de cette fonction, l'inégalité précédente entraînera encore

mod(u, — up) < = (II),

Mais on a par hypothèse

rm

mod (ui; — uo) < 5;

on a donc aussi

mod(u, — ui) = mod[(u; — uo) —(ui — uo)] < Ÿ, d’où LRU),

parce que w,, u, sont deux racines de l’équation numérique

dont la première tombe dans S, et dont la différence a un module Y.

Partant de là, on démontrera successivement de la même manière que les quantités |

Ya), Vas), +. Va), +} RES