CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

min simple donnerait sans elle. Maïs elle ne la change pas sik est multiple de y, à cause de a*#— 1.

V. L'acquisition faite une fois pour toutes, de documents numériques en nombre limité suffit donc à la discussion de tout ce qui peut résulter de l’adjonction en téte du chemin simple, d'une seule boucle (a) répétée un nombre quelconque de fois dans un sens ou dans l’autre.

Ces documents sont évidemment :

1° La valeur b(0) à laquelle & arrive en 4/ au bout de la ligne [To a];

2° Les valeurs b(*), b@2), ..., b-1 auxquelles w revient en a après 1,2, ...,y—1 parcours de l'anneau [a] dans le sens direct;

leur choix dans la suite b/, b”, ... s'opère en y prenant dans un

ordre convenable les y — 1 valeurs de l'expression (04 | ça’ aÿ |. autres que b(0);

mbeswaleurs wo, ut), ul2), ..., ut) auxquelles & revient

en æo, après le parcours de [a/æ,] fait en partant de 4’ avec les

valeurs b(0), b(, b2), ,,., bO-9 respectivement;

4° Les valeurs finales U, Ut}, UG), ..., Ut auxquelles le parcours du chemin simple [ToX] commencé avec les valeurs initiales wo, u(t), ul2), ..., u(Y-1) conduit w en X.

VI. Le chemin formé par deux boucles (simples ou multiples) précédant le chemin simple, pouvant être regardé comme résultant de l’adjonction de la première en tête d’un nouveau chemin simple qui résulterait de la combinaison de la seconde boucle avec l’ancien chemin simple [x X], des documents numériques plus complets, mais toujours en nombre limité, suffisent à la détermination de la valeur finale de u résultant du parcours d’un chemin quelconque réductible à ces deux boucles et au chemin simple primitif.

Et de même ensuite progressivement, pour le cas où au lieu de une ou deux boucles il y en aurait trois, quatre, etc., c’est-à-dire où il s'agirait d’un chemin quelconque tracé de x5 à X dans Harres.. |

On aperçoit suffisamment, sans que nous ayons à les détailler, les résultats numériques préalables fournissant dans tous les cas

la solution du problème. Il est visible qu'ils sont contenus dans la connaissance des faits suivants :

1° Mode de décomposition des éléments de chaque ligne du tableau (7) en groupes comprenant chacun les y valeurs d’une

méme expression de la forme Ÿ | (a! a) || rangées dans l’ordre où l’on peut les déduire de l’une d’elles en y multipliant la

valeur correspondante du radical (W— a) par les y — 1 premières puissances de la racine principale directe v*% de 1; 2° Valeurs acquises en, A,, ... [valeurs de x jouant relativement aux quantités i, 0», ... des suites (4) (5) indistinctement, des rôles analogues à celui de 4 par rapport à] et aussi en X, après le parcours des lignes [xon,] [toû, |, ... et du chemin simple [x, X], par la fonction u partant de x, avec chacune des racines de l’équation numérique |

SN: (Tate pour valeur initiale.

Mais la connaissance de tous ces résultats peut dépasser de beaucoup les besoins de la discussion dans l’aire S,, de la racine w définie par la seule valeur initiale &s.

165. L'étude à laquelle nous nous livrons depuis le n° 159 peut être faite dans une aire illimitée de forme quelconque, quand les quantités (4) (5) y sont en nombre limité, et même sans cette restriction, à cela près que les conclusions de l'alinéa VI du numéro précédent ne subsistent plus.

Et même, quand l'équation auxiliaire

(12) ee: u)=0

jouit des propriétés mentionnées au n° 149, les valeurs infinies de æ donnent lieu à des observations presque identiques, quant au langage, à celles faites quand x est infiniment voisine d’une valeur critique telle que a. Le développement à employer pour les discuter est la série (8) du n° 151 avec le signe — placé devant le dénominateur commun y des exposants, avec la notation x, substituée à +5. Au lieu d'une boucle comme celle que