CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES RAT
nous appelions (4) tout à l’heure, il y a ici à en considérer une autre composée de : 1° une ligne fes a] tracée de la valeur initiale æo de æ, à une valeur 4. de module assez grand pour que le développement en question converge: 2° un anneau [æ], maintenant de très grandes dimensions, conduisant x de @, à &, par des valeurs qui tombent toutes aussi dans les limites de convergence de la même série, et enveloppant une seule fois l’origine, ou bien, comme on peut le dire encore, l’aire imperforée infinie qu'il limite ëntérieurement ; 3° la ligne [to].
Nous fatiguerions inutilement le lecteur en insistant davantage, car nous n'aurions qu’à lui répéter avec d’autres mots les détails de la discussion de la racine w de l'équation auxiliaire (12), dans une aire limitée contenant la seule valeur critique x’.
166. Toutes les considérations précédentes sont applicables aux équations entières, comme nous en avons déjà fait la remarque (150); c’est même pour elles qu’on a le plus souvent à les utiliser.
La plus intéressante pour nous des discussions de ce genre est celle de la racine w de l'équation binome à second membre ralionnel |
(13) une = Ho (r — a)... (x — age,
que sa forme simple rendra très facile à traiter par des moyens spéciaux. On a H, Z 0, et les exposants M, 1, ..,, n°, sont des entiers, le premier positif, les derniers indistinctement positifs ou négatifs. Les valeurs critiques de x sont les quantités @,, ..., Qe, que nous supposons toutes inégales; elles font acquérir à l’équauon (13) des racines (numériques) multiples, nulles ou infinies selon que la valeur correspondante de l’exposant n est Zo
Pour xs, X, extrémités du chemin simple, nous prendrons tou- Jours deux valeurs de x non critiques. En représentant par f(x) le second membre de notre équation, nous prendrons pour w, valeur initiale de w, une des m déterminations numériques (iné-
gales) du radical Ÿ//(x,), choisie à volonté une fois pour toutes, etnous appellerons U celle des déterminations du radical VX) que le parcours du chemin simple donne en X pour valeur finale de u.
I. On obuent presque immédiatement les développements des racines pour des valeurs de x suffisamment voisines d’une même valeur critique 4 correspondant à l’exposant n. On peut effective-
ment écrire an PRE AT — mm TL | u=(x—a)" RUES (2,098
et, comme la fonction rationnelle placée sous ce radical est olotrope et non nulle en x — A, ce radical lui-même l’est aussi (125),
partant développable en une série entière par rapport à æ —,.
ho ha — a) + ho(x — a) +... |
où À, <0, qui donne n
Dir — a) ho + le — 4) +...].
En appelant m/, n' Îles quotients des entiers m, R par leur plus grand commun diviseur d, puis 0, 0, ..., 04 les d racines dièmes de l'unité, les m déterminations de cette expression rh1z0morphe se partagent en les d groupes suivants
b,(æ— a)" [ho+ hf —a)+...],
ue — a)" ho+ Aix —a)+. ..l;
qui chacun en contiennent m/, et où il n’y a plus de diviseur commun entre le dénominateur de chaque exposant et son numé-
rateur.
II. Supposons maintenant qu’on place la boucle (4) avant le chemin simple, et soit i l'indice de 8 dans celui des développements (14) parmi les valeurs duquel pour æ = se trouve la valeur b! acquise en ce point par w après le parcours de la ligne [æow’].
Une révolution faite par æ dans le sens direct ou rétrograde sur
l’anneau [a] fait passer le radical (x — a)”, de sa valeur primitive.
en 4’, au produit de celle-ci par la puissance d'exposant E »/ de am racine principale directe m'°#° de l'unité (126); comme le premier facteur 0; est constant, comme le dernier }5 + h, (x — a)
er \prah C
