CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

est olotrope en 4, partant monodrome, le développement revient en à/ avec la nouvelle valeur ax" b’. Il en résulte qu'après le parcours de la boucle (a), la racine u partie de x, avec la valeur initiale uç y repasse avec la nouvelle valeur aus, et Par suite, qu'au lieu de U, elle atteint en X au bout du chemin simple la valeur finale EU.

Le parcours préalable de la même boucle, fait Æ fois dans un sens ou dans l’autre, donnerait évidemment pour valeur finale o*#"U en particulier elle rendrait U de nouveau, si k était divisible par n!.

LIT. Il est maintenant évident que

ae bee PEU

n11 m3 Mo représente la valeur finale de u en X après le parcours d’un chemin réductible au chemin simple précédé des boucles enve-

loppant les valeurs Critiques et décrites AP horlns. Ke fois res-

Pectivement dans un sens ou dans l’autre.

Ici le résultat est absolument indépendant de l’ordre dans lequel les diverses boucles se succèdent, ce qui n’a pas lieu nécessairement dans les autres cas.

IV. Considérons enfin la boucle de l'infini (so), pour laquelle il suffit de prendre la quantité 4! avec un module supérieur à tous ceux des valeurs critiques proprement dites, et donton peut former l'anneau avec une circonférence ayant l’origine pour centre et moda’, pour rayon.

Si N désigne la somme (algébrique) des exposants LE NDAMEENT PE on à (50, IT) pour les valeurs de + dont les modules surpassent tous ceux des valeurs critiques, en particulier sur l’anneau [oo], le développement

f(x) = HoaN + Hat H,gN2 UISs * fi UE 2RCHGE HE 20),

expression dont le second facteur ne peut s’évanouir pour aucune des valeurs de x que nous considérons.

En appelant ici N’, m'les quotients de N, 7» par leur plus grand Commun diviseur, et «la racine principale directe de l’unité dont

l'indice est m/, le parcours direct ou rétrograde de l’anneau multiplie le premier facteur par 0%

autour de l’origine (119); il ramène d’ailleurs le second facteur à

parce que x tourne une fois

sa valeur primitive en 4, parce qu'il est méromorphe à l'infini. On en conclut facilement, en raisonnant toujours de la même manière, que k parcours de la boucle de l'infini avant le chemin simple changent U en " U. |

Quand N est divisible par »,0na m'=1, 4m —=1,etla racine u est monodrome, partant olotrope, dans toute la partie illimitée du plan qui est géométriquement extérieure à l’anneau [+]: |

167. Revenons aux généralités pour faire deux observations intéressantes, auxquelles conduit la considération simultanée de toutes les racines de l'équation (1).

Soient æo, X des valeurs de æ non critiques, puis

(15) Us Ne, les racines de l'équation numérique

J (Lo; u) 04

puis respectivement (16) Us U,

celles de l'équation (1) qu’on obtient comme valeurs finales, après avoir parcouru un même chemin [ x, X] considéré comme simple, en prenant les quantités (15) pour valeurs initiales de w, et cherchons d’abord la nature de la permutation qu'opère dans la suite (16) l’adjonction d’une boucle (a) en tête du chemin simple, les quantités (19) restant toujours placées dans le même ordre de

suCCeSsiON.

Appelons b| (x — aÿ| le développement rhizomorphe à même composante 4 (olotrope ou méromorphe) d’un groupe de y racines de l'équation (1) infiniment voisines de b—%(0o) (ou infimies) quand x tend vers f, puis

(17) b'; 4 PMP

les y valeurs

ace ailes 0)71000mRS p[av-1(a— a]

CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES. 181 9 L. \ "JR Q . .

de l'expression 4|(a'— a)"|, « désignant toujours la racine principale directe v*®* de l’unité, puis (18) LL US NT EN)

celles des quantités (15) qui prises pour valeurs initiales conduisent w aux valeurs (17) respectivement après le parcours de la

ligne [x,4/], puis enfin (9) DU U NATS

les valeurs finales obtenues au bout du chemin simple, quand w

part de æ, avec les valeurs initiales (18).

Une révolution de x sur l’anneau [a] dans le sens direct change “ x généralement (x — a)” en «(x —n)"; les y racines w qui parties de x, avec les valeurs initiales (18) arrivent en 4/ au bout de la

Fe + S [l L da . \ ligne [æon] avec les valeurs (17) y reviennent donc après le par-

cours de l’anneau, avec les valeurs

b”, pb’! by, b' :

elles repassent ainsi en +, au bout de la ligne [a/x,] avec les

valeurs

et finissent, par suite, en X au bout du chemin simple[x,X ]avec

les valeurs ND AMEL UM

se déduisant de la suite (19) par une permutation circulaire.

Il en résulte, tout comme pour les racines de l’équation binome (122), que, relativement à une valeur critique donnée de x, les quantités (16) se partagent en groupes ou systèmes circulaires, c’est-à-dire tels, que l’adjonction de la boucle correspondante en tête du chemin simple ne change pas la composition de chaque système, mais opère dans ses éléments une simple permutation circulaire.

Le doublement, triplement, etc., de la boucle dans le même sens provoque deux, trois, etc. permutations circulaires dans chaque système. Son. parcours en sens contraire produit la permutation

circulaire opposée.

Les valeurs finales des racines qui sont monodromes autour de la valeur critique dont il s’agit peuvent être considérées comme formant des systèmes circulaires composés chacun d’un seul élément.

Il est clair que, relativement à deux valeurs critiques différentes, le partage des quantités (16) en systèmes circulaires s'opère en général de deux manières entièrement différentes aussi.

168. Quand les équations (1), (3) jouissent dans tout le plan servant à la notation graphique de +, des propriétés spécifiées au n° 159 pour une aire limitée S,, le calcul par cheminement d’une racine quelconque de l’équation (1), de toutes par conséquent, ne rencontre jamais aucun obstacle et peut être poussé indéfiniment dans toutes les directions, soit par le développement de Taylor, soit quelquefois par ceux étudiés dans le paragraphe précédent. Comme en outre, d’après les notions acquises dans le présent Chapitre, plusieurs racines d’abord numériquement distinctes ne peuvent devenir égales sans que leurs degrés de multiplicité s'ajoutent, sans qu’une variation ultérieure de x les sépare de nouveau en plusieurs autres dont la somme des degrés de multiplicité reprend la même valeur, la somme des degrés de multiplicité d’un groupe donné quelconque de racines conserve une valeur constante, tant qu'aucune d'elles ne devient numériquement égale à quelque autre étrangère à ce groupe.

En comptant, comme on le fait souvent, une racine m?le pour m racines simples, on peut dire que le nombre des racines d’un groupe donné reste invariable, aussi longtemps du moins qu'aucune autre ne vient à s’y introduire.

Cette deuxième observation constitue ce qu’on pourrait nommer le Principe de la conservation du nombre des racines, renfermant celui qui a lieu plus strictement pour les équations entières; il offre une importance du même ordre, et n'existe comme lui que grâce à l'extension des opérations analytiques aux quantités imaginaires.