CHAPITRE V

LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE.

Origine et propriétés fondamentales du logarithme népérien.

169. Au point de vue purement analytique, le seul auquel on puisse se placer quand on tient à concevoir les choses dans un enchaînement clair et naturel, et sauf de bien rares fonctions dont la plupart ne jouent aucun rôle sérieux même dans les spéculations abstraites, toutes les transcendantes peuvent être considérées comme des résultats, prochains ou éloignés, d’intégrations exécutées sur des expressions de nature auparavant connue. Cette conception, qui en fournit la classification la plus nette, place au premier rang celles dépendant d'équations différentielles exclusivement algébriques par rapport aux variables indépendantes, aux fonctions inconnues et à leurs dérivées.

Les intégrales abéliennes sont les transcendantes les plus remarquables de cette espèce; on a donné ce nom à toute intégrale indéfinie à une seule variable principale x, de la forme

(1) SF(æ, y)dr,

où y désigne une fonction implicite de +, racine d’une équation entière donnée

qu'on peut supposer irréductible, c'est-à-dire dont le premier membre est indécomposable en facteurs entiers de degrés moin dres, où F est une composante rationnelle à deux variables, donnée auss1.

170. Quand l'équation caractéristique (2) est du premier degré

seulement par rapport à y, cette fonction implicite se réduit à quelque fonction rationnelle de x, la fonction compos F7) également, et l'intégrale (1) à

(3) SF(x)dæ,

où F(x) n’est plus qu’une fraction rationnelle. La décomposition de F(x) opérée au n° 59 fournit des monomes

entiers de la forme ax

et des fractions simples de la forme A(x—a)"4.

Aux monomes correspondent dans l'intégrale (3) calculée par décomposition (215*, IT) les termes similaires

1 x î = are

aux fractions simples où u -<1, correspondent encore d’autres

semblables A

MM (x — a)-t+1 (loccu)

Mais si la décomposition de F(x) a donné des termes effectifs en CHER TES

ils introduisent dans l'intégrale (3) une partie linéaire et homogène par rapport à des intégrales indéfinies telles que

dx (#) 1

dont jusqu'ici {a nature propre nous est entièrement inconnue.

En posant

(5) vr)= [T,

l'intégrale (4) est W(x — x), quelle que soit la constante a. C’est

donc en définitive à cette dernière fonction, la plus simple évidemment de toutes les intégrales abéliennes, que se ramè-