NE 1 = O POUR

On la nomme le logarithme népérien de x, et on la représente par le signe /(x).

Voici les premières conséquences de cette définition.

I. Le logarithme est localement olotrope pour toute valeur de x non nulle, mais non olotrope en x —0o. Car la fonction

fractionnaire simple => qui est placée sous le signe d'intégration dans la formule (6), jouit précisément de ces mêmes propriétés (153*) (208*).

On peut donc développer cette fonction par la formule de Taylor à partir de xi, valeur initiale quelconque de x non — 0, et le rayon de convergence maximum de la série est modx;, distance de x; à cette unique valeur singulière o (201*).

IT. Comme la différentiation indéfinie de l’équation (7) donne immédiatement

dm u yes DAMEURE IT) dx PAL

le développement dont il s'agit'est

T T— Ti; /T—" TN 1} fx — x;\m (8) aus EU (EE) Le TER (5 PRE.

L'j Li nm Ti

Nous l’écrirons quelquefois

(9) ae ur (ie TE):

Di en posant, pour abréger,

[A (10) AC )= = ONE série entière dont le rayon de convergence maximum est 1, et dont l'étude directe, faite par la méthode employée au n° 78, III, ramè-

nerait par une autre voie aux conclusions ci-dessus ([) (Cp: 80, IT).

I I : , L] LI] 2 pie -à 2 . LE] 3 m

III. De ce que les quantités positives “Aie I 2 décroissent sans cesse et indéfiniment, on conclut (100*) que /a série (10) qui a 1 pour rayon de convergence maximum est encore convergente pour toute valeur de t, ayant 1 pour module sans étre TA: | Il en résulte que La formule (8) est encore valable pour toutés les valeurs de x situées sur la circonférence de centre æiet de rayon — modæ;, à l’exception de la valeur x = 0. Car la sér1e est convergente comme on vient de le voir, partant continue (126*), et le logarithme aussi, puisqu'il y est olotrope (L). Les séries (10), (8), sont divergentes, la première pour {= —1, la seconde par suite pour x — 0. Cette valeur de x n’est donc jamais accessible au cheminement, et nous l’exclurons absolument de nos calculs, comme aussi tout développement fait autrement que sous la condition

mod(æ— #;)< modæ:.

Pour le tracé des chemins praticables au cheminement, nous

retombons donc exactement ici sur les règles concernant la fonc-

tion Y(m, x) (80, IL zn jine).

JV. Comme en æÿ—=1, on prend w, = 0 : l'emploi répété de la