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Li, Tir+1;,

forment une progression géométrique de raison gq, les valeurs correspondantes de l(x) sont les termes d’une progression art-

thmétique de raison (1 + q —1).

Car les égalités supposées

Ti Ti+1 — = — — 4

Tiji T'j

donnent DU r— T'; IV; er + Ti Ti d’où (IL) oe— Ui— Un = Wu — W=...= À(1+ Q —1)

[en supposant bien entendu mod(qg—1)<1|].

VI. Nous noterons enfin une relation très intéressante entre le logarithme et la fonction d(nt, x) des n°° 78 et surv.

L'expression de la valeur de cette dernière au bout du che- Mn u)Tir: -. x; , xx | estiévidemment

Li —X Di—Lj- L—; (12) bn, a) = 9 (nn, 14 PE) 0m, ce PRE) 0 (m1 + o):

On a de plus (85)

(1,0) ® mt (0, 1H) =

Si donc on fait M — o dans la formule (12) différentiée une fois par rapport à M, et si l’on a égard à la formule (11) construite pour le même chemin, il vient, toujours au bout du méme chemin,

He) en No ) :

nt

C’est la relation dont il s’agit; elle permettrait de déduire facilement, des propriétés fondamentales de la fonction Ÿ(m, x), celles du logarithme qui précèdent et beaucoup de celles qui vont suivre. Mais la méthode directe est évidemment préférable, bien qu’elle soit un peu plus longue.

172. Si les variables x!', x", ..., x 8 cheminent arbitrairement(@paritrden= x"—... tie ENNSEtS K', KP

sont des exposants réels commensurables quelconques, on a toujours identiquement

(3) Lea. He) = K'I(x')+ K'U(x") +... PKe) (xt),

poureu, bien entendu, que l’on ait pris 1 pour valeur initiale commune de tous ceux des monomes x", x""", ... dont les exposants sont fractionnaires (118), et que la valeur du prenuer membre de cette relation soit calculée conformément aux

règles de la théorie des fonctions composées (251*).

Pour établir cette identité dans toute sa généralité, il suffit (252*) d’en vérifier l'exactitude sur les premiers développements des deux membres, c’est-à-dire pour toutes les valeurs de x', x”, ... rendant inférieurs à 1 les modules des excès sur 1, tant de ces: valeurs elles-mêmes que de la quantité x" x"* ... (T1, IN) (AMD Or Cestice (qui adreu:

I. Quand g se réduit à 1, car alors les dérivées par rapport à x' des deux membres de la relation (13), savoir

La) = KYU(xt!), se réduisent respectivement à

RENE CE | er cent (ALS SATA

de plus ces deux membres s’annulent simultanément pour æ = 1;

LU. Quand g a une valeur quelconque, st on suppose l’identité démontrée pour g—1 variables, car alors les mêmes déri-