CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

vées prennent encore les valeurs identiquement égales

K’ g'K—1 x'E" NE. re) K' m'a" ae E Gr et, pour æ = 1, l'identité se réduit à

Ua"... mie) = K'I(x")+...+ Kg) 7(xte)) qui est supposée exacte;

HT. Quand g a une valeur quelconque, et maintenant sans condition, carnotreidentité, ayant été établie pourune variable ([) est vraie pour deux, puis pour trois, et ainsi de suite (IT).

173. Comme la distribution des valeurs ordinaires et singulières de æ, observée pour la fonction Ÿ(m, x) (80, LIT), se reproduit identiquement pour celle que nous étudions en ce moment, les mêmes particularités se représenteront aussi dans le calcul de cette dernière par cheminement, excepté, bien entendu, celles tenant à la nature propre du développement élémentaire (8) qui est ici entièrement différente. Par exemple, les mêmes tracés de chemins sont permis ou non, et tout chemin conduisant de x, à X équivaut, pour le calcul de la valeur finale de & en X, au chemin simple [xçæa, X] du n° 87, compliqué par quelque parcours de l'anneau [O, | ceignant l’origine Q}

La comparaison des valeurs finales de u — /(x) au bout des divers chemins qui mènent de x, à À conduit à ce théorème :

En appelant U celle qui correspond au chemin simple, et U® celle résultant de l'insertion entre ses deux tronçons [tozu)] [tu X], de l'anneau [O3] parcouru k fois dans le sens direct (89), on a

(14) U4 = U + kw,

où & est une constante spéciale dont la valeur est indépendante de la forme de l’anneau.

I. Conservant les notations du n° 88, nous appellerons w,,, la valeur acquise par /(æ) en æ,,, extrémité du premier tronçon du

190 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE. chemin simple, puis Ti) (2) so.) (ss %(1)

les sommets du chemin constitué par l’anneau, écrits dans l’ordre où on les rencontre en y faisant une révolution directe, et

(1) Uyjs Ua), +.) Us); Wii),

les valeurs correspondantes de LEæ La formule générale (9) donnera

Ui+1) = Ui) + Di); en posant pour abréger Tri — V1:

on À (: T D MT ie a) ) d’où successivement

Ua) = U() + Di) UW(3) — U(2) a (2); +. U(s) — U(s-1) D (s—1); uf1} = U4(s) + D(s))

puis en ajoutant membre à membre

(15) UI)= Win +; où l’on a posé (16) D = O1) 1 D) ee Us):

De la formule (15) on passe immédiatement, par le raisonnement employé au numéro cité, à

UD = U +, puis à la relation générale (14).

: 14 I IT. Avec deux anneaux directs quelconques/[O,],"[O;], et deux chemins non séparés par l’origine que nous tracerons de x, à X, nous formerons, comme au n° 88, [V, deux chemins composés équivalents. On en conclut

où "5, "& représentent les valeurs de la constante 5 qui correspondent à ces deux anneaux, puis