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série dont la somme est nulle sis — 0, négative si s 0, car alors tous ses termes sont négatifs, positive enfin si s > 0. Effectivement et à cause de e 1, ses termes sont alternativement positifs et négatifs, avec des valeurs absolues qui décroissent sans cesse et

indéfiniment (101*).

176. Au point de vue graphique, on en conclut ce qui suit : quand x se meut sur une demi-droite fixe issue de l’origine Or,

le point u = l(x)se meut dans le plan des axes O,U', O,U' sur: une parallèle au premier de ces axes et cela dans sa direction positive ou négative, selon que, dans son mouvement, le point x s'éloigne ou se rapproche de l’origine O}. Effectivement le premier élément seul de {(x) varie, en croissant dans le premier cas, en décroissant dans le second.

Nous verrons tout à l'heure (178, inf.) que uw traverse l’axe O, U” quand x traverse la circonférence de rayon 1 décrite de l’origine O, comme centre.

177. Le point #, — 1 se trouvant sur la partie positive de l’axe des quantités réelles, ainsi que toute valeur positive de x, on peut atteindre cette dernière par un cheminement exécuté exclusivement sur cette partie, et chaque accroissement attribué à + sera de la forme ci-dessus ex. Comme on part de x = #5 = 1 avec la valeur initiale réelle /{(1)— 0, l'application répétée de la formule (19) montre que la valeur atteinte par l(x) sera toujours réelle; de plus elle est unique, parce que tous les chemins de mêmes extrémités dont les sommets appartiennent à la partie positive de l’axe des quantités réelles s’équivalent évidemment.

Cette valeur réelle de l(x) est20, selon que la valeur positive de x à laquelle elle correspond, est aie Car, en partant de 1 et marchant sur l’axe OX’, d’abord dans sa direction positive, ensuite dans sa direction négative, /(x) part de o en n’éprouvant jamais que des accroissements qui sont positifs dans le premier cas, négaüufs dans le second.

178. Quels que soient la valeur de x de module & et le chemin suivi pour y arriver, et st l’on représente par 'l(x) le premier élément de l(x), on a

valeur réelle atteinte par l(x) partant de ((1)=0o quand on chemine de 1 à & sur la partie positive de l’axe des quantités réelles (ATT).

D'où en particulier, pour modx = 1,