CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

lytique, parce que toute expression est susceplible de quelque représentation géométrique, et qu’à ce point de vue il n'importe en ren que ce soit l’une ou l’autre. Mais elle était nécessaire pour jusufer l'usage de représenter par ati l’augment du logarithme népérien, usage auquel nous nous conformerons désormais.

184. Quand x est infiniment petite ou infinie, le second élément de l(x) est indéterminé, mais le premier est infini, négatif dans le premier cas, positif dans le second.

On a effectivement (x) =4U(E) + cu’,

où /(Ë) est la détermination réelle du logarithme de £, module de æ (178), où w” représente l’arc de cercle défini ci-dessus (183). Cette dernière quantité est indéterminée, comme le mouvement giratoire dont x peut être animée en se rapprochant ou s’éloignant de l’origine.

S1 l’on suppose ensuite que £& croisse de o à par des valeurs en progression géométrique croissante de raison q (positive et > 1), les valeurs correspondantes de /(£) seront les termes d’une progression arithmétique de raison \( + Dh) TR ONCE AL V ) (177), partant croissante; par suite /(Ë) croîtra de — œæ à + oo.

Les choses se passeront de la même manière pour tout autre

mode de croissance de Ë, car la dérivée > de /(E£) (171) étant tou-

Jours positive, cette fonction est toujours croissante (19 er suio.).

185. Le signe [(X), posé sans autre indication, représente assez souvent l’ensemble des valeurs que {(x) acquiert en X au bout de tous les chemins pouvant être tracés de x —1 à æ—X, et quon nomme alors les logarithmes de X. Quelquefois aussi il représente l’un de ces logarithmes, spécifié d’une manière ou d’une autre.

Ce point de vue comporte quelques observations :

l Six représente un entier absolument indéterminé(positi nul ou négatif), tous les logarithmes de X sont renfermés dans

l'expression [(X) + K.oxi,

où I(X) désigne l’un d’entre eux chost arbitrairement (173)

II. Tous ces logarithmes sont imaginaires, sauf le cas où X est une quantité réelle positive, et où l’un d'eux, mais un seul,

est réel (177) (181) (182).

Dans ce dernier câs, la notation {(X) représente habituellement cette détermination réelle unique.

III. La relation (13) cesse en général d’être exacte quand, on y remplace les déterminations voulues des logarithmes, par d’autres prises au hasard ; mais elle le redevient par l'addition au second membre, de la constante

(23) (—K+KK +K'K'+...+A@K(@))arr,

où k, k!,... sont des entiers convenablement choisis. Car les déterminations des logarithmes requises pour l'exactitude de cette relation sont respectivement égales à d’autres quelconques augmentées de tels ou tels multiples entiers de 2x (1).

IV. Mais quand les quantités x', x”, ..., sont toutes réelles K" ,

HS 5 8 A ATEURETE ES minations positives (94), pour leurs logarithmes et celui de

leur produit, leurs déterminations réelles, la relation (13)

D . K' positives, et quand on adopte pour APR

subsiste toujours sous la même forme extérieure. Car le choix de pareilles déterminations rendant réels à la fois les deux membres de cette relation, il faut de toute nécessité que dans le terme additionnel (23) le facteur entre parenthèses se réduise à 0.

A un facteur constant près (208 et sute., inf.), cette formule est alors celle qui fait des logarithmes un instrument si expéditif pour l'exécution indirecte des calculs numériques usuels. Les cas parti culiers les plus employés sont

Ix'x"...xe)) = (x) + l(x") +...+ 1(26)), (24) LE) = Ua) — 1e") | ACADIES TC

V. Les seconds éléments des logarithmes de X sont ce qu'on nomme les arguments de cette quantité; ils sont représentés

CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE. 199 géométriquement par les arcs de cercle définis au n° 183, augmentés des multiples entiers de la longueur 27 de la circonfé-

rence de rayon 1.

En égalant les seconds éléments des deux membres de la for-

mule (13) modifiée comme nous l’avons expliqué ci-dessus (II, on obtient en particulier une représentation géométrique de la mulüiplication, de la division et de l’extraction des racines. Mais nous n’en avons que faire, et nous n’insisterons pas.

186. Les logarithmes des racines mièmes de l’unité ont des valeurs remarquables qu'il est utile de calculer.

En appelant an = D (> ) la racine principale directe (113),

chacune des autres a pour expression 7, = ® (e )» où » est quelque

entier posiuf m; en représentant alors par /(u,,) la valeur de {(x) au bout du plus court chemin qui conduit +, dans le sens direct, de 1 à x”, sur la circonférence de centre OL et de rayon —1, on «a toujours