TI

(28) Manu) Ur) =ENmEn)

Pour m— 2, n=—=1, on aurait par exemple U(— zoo) — l(ro) = E —ai,

selon que la demi-circonférence à considérer serait directe ou rétrograde.

Tous les autres chemins donnent évidemment à l'accroissement de {(x) l’une ou l’autre des valeurs (27), (28), sauf des multiples entiers de 2x4 qui s’aperçoivent immédiatement.

187. Le logarithme ne cessant d’être olotrope que pour une valeur nulle (ou infinie) de la variable (171, I), Les phases singulières de la fonction composée lU(x, y, ...) ne peuvent correspondre qu'à celles de la fonction simple U(x, y, ...), ainsi

qu'aux valeurs de x, y, ..., la rendant nulle ou infinie. Comme au n° 126, le calcul par cheminement de {U(x, y, .. 7 se ramène au tracé de la ligne décrite par # — U(x, y, ...), puis

au calcul de /(u) sur ce chemin (171, IT). Quand U(x, y, ...) est décomposable en facteurs plus simples, la relation (13) peut rendre l’opération très facile. On en trouvera plus loin un exemple (190, enf.).

Pour différentier {U(x), on a la formule évidente (256*)

EDG) AT AET de (En)

WCT).

Une fonction composée de /(x) se trouve naturellement dans une phase singulière, tout au moins critique, quand x est infiniment petite ou infinie. Assez souvent on a intérêt à y remplacer x par e7, pour étudier ensuite ce qui s’y passe quand on rend le premier élément de y infini, négatif ou positif (201, ënf.). Par exemple,

on trouve ainsi que, pour x infiniment petite positive, RACE tend vers zéro, quels que soient les exposants commensurables po-

sitifs 1, y (207, inf).

188. Le logarithme népérien que nous connaissons maintenanl par ses valeurs numériques et par ses propriétés caractéristiques, à peu près comme nous connaissions auparavant les fonctions rationnelles, les monomes irrationnels, etc., fournit le dernier élément qui nous manquait pour opérer l'intégration d’une fonction rationnelle quelconque (170), et pour compléter, dans tous les cas, l'expression que nous avons donnée de l'intégrale indéfinie d’une fonction méromorphe dans une aire limitée donnée, ou d’un développement rhizomorphe (41) (157).

Quand la fonction sous le signe d'intégration contient dans son développement un terme de la forme

DU

où À n’est pas nul, il lui correspond évidemment dans celui de

l'intégrale le terme Al(æ —a)

introduisant dans sa phase singulière en x = à une complication logarithmique. De ce chef, par exemple, l'intégrale augmente de AÀ.ort à chaque révolution directe de x autour du point A; effectivement, nous avons déjà remarqué au n° 126 que la duférence æ — f se meut par rapport à sa propre origine, COmme æ relativement au point à (173) (183), etc.

189. Voici la plus importante des propositions se rattachant aux considérations de ce genre : St la fonction f (xTase méromorphe dans l’aire limitée et imperforée S, mais olotrope sur

son contour (CG), l'intégrale définie JL f(x)dx, prise en parcou- (C) rant ce contour une fois dans le sens direct, est liée au résidu

intégral de f(x) dans l’aire considérée (56) par la relation

(29) PO = amif (a)