CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

En intégrant par décomposition, après avoir substitué à f(x) le second membre de la relation (14) du n° 39, et en représentant par F(x) celui de la formule (16) du n° #4, il vient évidemment

(30) Jf(x) dx — F(æ)+ A 10(x — AA ae RUES ay).

Quand x revient à son point de départ après avoir parcouru le contour (CG), le terme F(x), méromorphe dans l'aire S partant monodrome, revient à sa valeur initiale et ne donne rien dans l'intégrale définie. Mais comme le contour constitue un anneau direct autour de l’un quelconque des points &,, &, ..., chaque logarithme augmente de 274 (188). Il reste donc

ff) Hbc 2ri( AN +. + AR, *7 (C)

où, par définition, la somme entre parenthèses est précisément le résidu intégral figurant dans la relation (29).

En faisant varier la nature de f(x) et la forme du contour (C), en exécutant des transformations variées, Cauchy, auteur de ce théorème, en a déduit les valeurs d’une foule d’intégrales définies, les unes nouvelles, les autres déjà obtenues, mais par des procédés bien plus pénibles. Dans notre troisième Partie, nous expliquerons cette élégante méthode sur plusieurs exemples.

On a cru qu’elle réduisait des éntégrations aux simples différentiations nécessaires pour calculer les résidus, et l’on s’en est étonné. Mas la relation transitoire (30) montre bien qu’au fond l'intégration est simplement ramenée à d'autres intégrations dont les résultats sont fournis, une fois pour toutes, par la théorie du logarithme.

190. Nous plaçons ici un autre théorème de Cauchy qui porte encore son nom.

Les mêmes choses étant admises que dans le précédent, avec la condition, pour f(x), de n'avoir aucun zéro sur le contour (C), si l’on nomme m la somme des degrés de multiplicité des zéros de f(x) intérieurs à l'aire S, p. la même somme pour les infinis de cette fonction et Alf(x) la variation que fait éprouver à lf(x) le parcours du contour (GC) dans le sens direct, on a Alf(æ)