CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

certain anneau tracé autour de l’origine, et Al[a;+e(x)|= 0° à cause de la condition (33), parce que le mouvement de x fait décrire à a+ e(x) un contour fermé qui peut évidemment se déformer jusqu’à des dimensions insensibles, sans franchir l’origine spéciale à laquelle on supposerait cette quantité pour un instant rapportée.

La formule (31) fait donc retrouver m—#, principe fondamental de la théorie des équations entières. Mais cette démonstration n’est pas bonne, en ce sens qu’elle implique des considérations trop indirectes et par surcroît trop étrangères à l’'Algèbre pure. Nous ne la reproduisons qu'à titre de curiosité, et nous lui préférons celles que nous avons données aux n'* 13, 15, cette dernière principalement.

192. Si de plus l'équation (32) n'a que des racines simples à l'intérieur du contour (C), la formule (51) en réduit le dénombrement même au calcul de Alf(x).

Cette quantité contient 274 autant de fois évidemment qu’autour de l’origine O, deu — f(x) il faut superposer d’anneaux identiques (directs), pour réaliser un chemin fermé jusque auquel, mais sans lui faire franchir cette origine, on puisse déformer le contour fermé (Q)que la marche de x sur (C) fait décrire à w. Le nombre de ces anneaux a une relation très simple avec le nombre et la disposition des intersections par la ligne (Q), des parties posi-

È Là ® s A u” L tives et négatives de l’axe OU”; porutston le rapport s des élé-

ments de &w s’évanouil; on constatera sans peine quel est préctsément la moitié de l'excès du nombre de fois que, pendant le

(42 mouvement de x sur (G), le rapport =; passe en s'annulant du négatif au positif, sur le nombre de fois que le même rapport passe semblablement du positif au négatif. La simple discussion de ce rapport, faite sur le contour (G) à ce point de vue, pro- Cure ainsi le dénombrement des racines; Cauchy a complété son A ; L s Fe ue ?

théorème par l'indication de procédés spéciaux pour l’effectuer dans certains cas intéressants pour la théorie des équations entières; mais ces développements sont trop en dehors de notre cadre, et nous ne pouvons nous ÿ engager.

KA 193. Voici, pour terminer ce paragraphe, la méthode la plus x expéditive pour exécuter le calcul numérique du nombre *. (

Pour m—8,n—1, la formule (25) montre que = l'est le second

élément du logarithme de 44 — ®(+) racine principale directe 8ï°ne, de l’unité, ce logarithme étant calculé sur le chemin défini au commencement du n° 186. + /: VOS |

En faisant ag — a+ ia”, où «=> 0 puisqu'il s’agit d’une racine principale directe, la relation aÿ= a; —t (113 bis) conduit à a2—%"2— 0,922" — 1, égalités montrant que a! est positif aussi, de plus égal à &”, qu’en conséquence «4 est une quantité primaire de pente — 1. D'après cela, nous formerons d’abord les puissances «

d’une quantité primaire quelconque g de module 1 et de pente

4 1, en allant assez loin pour que, toutes ces puissances res

5 : “A f 4 tant primaires, les pentes des deux dernières comprennent 1. En

représentant un instant par P(a) la pente de la quantité a supposée A primaire, l'emploi répété de la formule | P(a)+ P(b)

dot) 1 Pa) P(6)

fera connaître successivement les GS des quantités (34), par suite l’exposant g et aussi les pentes y/, y", Loutes deux inférieures à y, des quantités primaires, de module 1 aussi,

Le 8 72 get PTS és Posons maintenant a 113 Yu 2 l 35 TS +... RER ES |" = 230 (35) [ 4 ë I J I S1 y! <<", le chemin sans rebroussement 4 Pi, q, Je, er g5, as | S donne facilement, comme au n° 180, 10 T E à GTA #1