CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

écrite d’une autre manière. D'ailleurs la différentiation de la série (1) la rend évidente à postertort.

Cette fonction ne.peut donc s'évanouir numériquement pour aucune valeur de x. Car alors la relation précédente entrainerait la nullité simultanée de ses dérivées de tous ordres, par suite (187*), la nullité identique de o{x). Or ceci ne peut avoir heu, puisque les coefficients de la série (1) ne sont pas tous nuls.

197. À la propriété caractéristique du logarithme népérien (179) correspond par inversion celle de (x) que nous allons énoncer, et qui est fondamentale.

Au bout de chemins quelconques issus de

| bte d =D 0)

on a identiquement (4) Lo(z')ETp(z")75"... [e(z te) TE = (Ka + Ka +... + Ke) ze), pourvu que ces radicaux partent des valeurs initiales

= [EL eer Les trajets imposés à x’, x", ... font suivre aux quantités

(5) X'=p(x), X'= (x), des chemins … bout desquels on a la relation (13) du numéro cité

LR XEEE) = K'I(X) +... + KG U(X@)) = K'z'+...+ Ke xt), parce que (195) les formules (5) donnent inversement

OS ANR QE"

Or, et cela par définition (194), la résolution de cette dernière par rapport à la quantité dont le logarithme figure dans son premier membre donne précisément celle que l’on veut établir (4) après substitution de w(x'), w(x”), ... à X', X", ....

198. Quand les nombres K/, K/, ... sont tous entiers, l’idenuté (4) ne renferme que des fonctions indéfiniment olotropes ; par suite, elle subsiste indépendamment de toute condition

Lie 1 Va ; Ÿ

accessoire. Dans ce cas, la considération de la série (1) en fournit

une démonstration bien facile.

La formule de Taylor, indéfiniment applicable à la fonction &(x) (206*), donne pour toute valeur de æ et de k;, à cause de l’iden-

uté (3), (6) o(æ+h)=v(x)e(2),

d’où facilement

o(z'+z"+...+a@)= œ(x')p(x")...e(æt8)), \ puis en prenant æ'= 4" —...— 8) tr, (7) p(gæz)= Tor):

On a, d'autre part, à cause de (1), (6),

1=9(0)=vp(r—x)=p(r)p(— x); | on en conclut o(—x)=[o(x)["t,

puis en vertu de (5) (8) o(—gr)=[e(x)Fe.

Une combinaison évidente de toutes ces formules particulières conduit ensuite à la forme de l'identité générale (4) que nous

avons en vue.