La relation (4) donne en paruculier o(Kr)=[e(x)}K

PCK)= [CIE

d’où DOUCE 1

On représente par la lettre e la constante o(1), en posant

I i MAD DR SCORE 7 rRaB 8:

On «a ainsi o(x) = €*,

pour toute valeur de x réelle et commensurable, formule qu facilite beaucoup la conception de pareilles valeurs de notre fonction. | |

Pour æ non réelle commensurable, le signe e? n’a point de sens; mais rien n'empêche évidemment de lui en attribuer un, en posant

pour toute valeur de +, ceci conventionnellement quand il ya lieu,

o(æ)= ex.

C'est la notation que.nous adopterons désormais conformément à l'usage. Elle a le double avantage de fournir les valeurs de notre fonction dans tous les cas où elle a un sens propre, et de rappeler aux yeux l’analogie parfaite de sa propriété caractéristique (197) avec les règles du calcul des exposants. D'où le nom de fonction eæponentielle, auquel on ajoute quelquefois le mot népérienne pour la distinguer d’autres fonctions analogues dont nous parle-

rons plus loin (209, énf.).

201. La discussion numérique de la fonction exponentielle se ramène immédiatement à celle du logarithme népérien, en vertu de cette observation que le théorème du n° 11 rend évidente.

Si le parcours par u.d’un chemin quelconque [1, U] fait décrire à TN)

le chemin [o, X], on aura certainement

21e DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE.

Il y a cependant quelques faits intéressants à établir directement.

I. Quand x est réelle et croit de — à +, ef. est réelle et croit do à +.

Le premier point résulte de ce que tous les coefficients de la série (1) sont réels. Comme ils sont en outre positifs, e? est posi-

: à R : ce ee tive aussi pour + >>0,et mème pour << 0 à Cause de e? — Le (197).

Enfin e* dérivée première de e* (194) étant ainsi toujours positive, e? est toujours croissante, et même à l'infini à cause de e7 > x. Quand x décroit jusqu’à — «, e* tend vers zéro, parce que — x

est une quantité positive infinie et que l’on a ef = ——- Ï eTX

II. Quand x', premier élément de x — x! ix",est nul, ona& (9) modex = modei£"=— 1.

A cause de la réalité tant des coefficients de la série (1) que

de x" les C uantités ») eix”, e—ix”

sont conjuguées, et le carré de leur module commun se réduità tr,

à cause de (modeir”)? = ere 00 "7 NE

Ill. Dans les autres cas on a (10) mod ex'+ix” — ex",

Car e*’ est une quantité positive ([) donnant (197)

quantité de module 1 (IL).

IV. Quand x se meut de — à + sur une parallèle à l'axe O,X!, menée à la distance x" de cet axe, u = e* marche de o à w sur la demi-droite tracée de l’origine O, à l’extrémité d’un arc de longueur E x" mesuré à partir du pointu =1 sur la circonférence | Ou, 1], dans le sens de rotation direct ou dans le sens rétrograde selon que x" est Zo. Car x = l(u) décrit