CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

précisément cette parallèle quand u se meut sur la demi-droite

en question (176) (183).

V. Quand x se meut uniformément de — © à + + sur une parallèle à l’axe O4X", menée à la distance x! de cet axe, u = e* iourne uniformément dans le sens direct sur la circon- Jérence [Oy, e" ] en passant en u = e*’ au moment où x passe en æ, et en y faisant une révolution entière chaque fois que x se déplace de 27 sur la parallèle considérée. Car x = U(u décrit précisément cette parallèle, quand & décrit de la manière indiquée la circonférence en question (179).

VI. Stm, n sont deux entiers, le premier positif, et si am désigne toujours la racine principale directe mème de l'unité, on «à

d'où, en particulier,

ÉTÉ — — 1, e

Ces formules sont des conséquences évidentes de celles inverses du n° 186; elles fournissent pour les racines de l’unité, des expressions que l'existence des Tables trigonométriques (250, inf.) rend les plus convenables pour leur calcul numérique.

202. Comme la fonction exponentielle est indéfiniment olotrope, elle a pour phase singulière unique celle correspondant aux valeurs infinies de x.

En vertu de la relation (10), combinée avec les conclusions des alinéas qui la précèdent dans le n° 201, elle est infinie quand le premier élément de x. est infini positif, infiniment petite quand il est infint négatif, indéterminée dans tous les autres cas.

Un pareil mode de variation sépare absolument cette fonction dé toutes celles à une seule variable que nous avions rencontrées dans les Chapitres précédents, chacune de ces dernières tendant vers une limite déterminée ou bien étant infinie pour des valeurs infinies quelconques de la variable. On dit qu’elle possède à l’infini une singularité essentielle (259, inf.).