L’équation numérique

eu— X

est impossible ou possible, selon que X est — 0 ou non. Dans le dernier cas, elle a pour seules racines toutes les détermina-

sions de I(X) (185).

Nous savons (LT) que celte équation n’a pas d’autres racines que les valeurs acquises par la racine variable w de l'équation

AaB Th Le

définie par une condition initiale quelconque, en particulier par u—0 pour Z —1,au bout de tous les chemins pouvant conduire x de 1 à X. Nous savons d'autre part (195) que cette racine variable est précisément /(x).

Cela posé, si X —o, tous ces chemins conduiront le premier élément de /{(æ) à l'infini négatif (184); si au contraire X est non — 0, ils donneront naturellement toutes les déterminations

de {(X), savoir

U+ art,

en appelant U l’une d’elles choisie à volonté, et Æ un entier quel-

conque posiuf nul ou négatif (173) (183).

204. La périodicité est une propriété extrêmement curieuse el importante qui, sous des formes variées, appartient à une infinité de fonctions engendrées par l’inversion des intégrales abéliennes. Dans la suite, nous aurons à en parler longuement; mais, pour le moment, il faut nous borner à la définir sommairement et à constater qu’elle appartient déjà à l’exponentielle.

Soient f(x) une fonction d’une seule variable, et Il une constante donnée non — 0; on dit que f(x) admet Il pour période si, quel que soit l’entier » (positif ou négatif), on a identiquement

f(x+ ml) = f(x).

Les fonctions douées ainsi de quelque période sont dites périodiques.