CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

Cela posé, la fonction exponentielle admet + 2ri pour période.

Car, par ce qui précède (203), et quelle que soit z, l'équation Lo) (Re A

a pour racines toutes les quantités de la forme x + m.oxi. Cette période est élémentaire (260, inf.) parce que l’équation (11) n’a pas d’autres racines.

205. Relativement aux parties aliquotes de sa période 2#£, l’exponentielle jouit d’une sorte de périodicité imparfaite. Car,

en appelant » un entier positif et 4, la racine principale directe mine de l’unité, on a (201, VI)

7 $ : ; TUE ; L'addition à x d’un multiple entier de —— reproduit donc

encore l’exponentielle, mais au facteur «7, près, qui se réduit à 1 quand n est multiple de 7.

206. La composante e“ étant indéfiniment olotrope, la fonction composée e"®%::1 l’est elle-même aussi longtemps que la fonction simple U(x, y, ...) jouit de cette propriété (248*).

Quand la fonction simple est une fonction méromorphe U(x)

d’une seule variable, on voit sans peine que les infinis de U(x)

sont des points singuliers essentiels de e"* (259, inf.). La différentiation de el? donne

deux)

= eux) U'(æ).

207. L'observation suivante est utile à la discussion de beaucoup d'expressions compliquées d’exponentielles.

Quelque grand que soit l’exposant positif fractionnare u, le rapport ex

est infint pour des valeurs positives infinies de x.

\ 4 à te \ Car, à cause du développement (1), ce rapport est supérieur à