CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES

verait évidemment de semblables en prenant

b eo f pCu) du, F UP p{u)

le tracé du chemin d'intégration évitant les zéros de p(u). D’après

l’équati rail doncinfn — ( l quation (1), dx °ETaIL AonC infinie en LT — À, partant non 0 otrope,

et u ne le serait pas non plus (165*).

Il. L'hypothèse k — 0 réduit l'équation (1) à la forme

(2) su = p(u), et l'hypothèse k 5 2 rend finie quelque valeur & de x pour laquelle devient infinie. Des valeurs de ce genre sont effectivement fournies par la formule

TN x P(U)

X = To +

en prenant l'intégrale sur quelque chemin tracé de w4 à l'infini sans

passer par la valeur # —o ni par les zéros de p(u), et cette inté- ; Aie . . I

grale est essentiellement finie : car la substitution # — = (334) la

change en

dk—2 si > LE

ml

Up

\ . . , . , I où le chemin d’intégration, tracé par les valeurs de 4 — 7 peut

maintenant être supposé limité, parce que w ne passe pas par la valeur o, et ne contient évidemment que des valeurs de #, ordipaires pour la fonction placée sous le signe f.

Or, si l’on avait £ > 2, l'inverse arithmétique © — | de l’intégrale 4, qui prend la valeur 6 = o pour + — 4, n’y serait pas olotrope ; elle satisfait effectivement à l’équation différentielle

c’est-à-dire

où le second membre est le quotient de deux polynomes entiers en #, sans diviseur commun, dont le second s’annule pour 6 = 0 (I).

L'intégrale w ne serait donc pas méromorphe en x=%, puisqu'elle y serait infinie sans que son inverse arithmétique y füt

olotrope (42).

III. Pour Æ —1, on peut écrire p(u)= g(u—a), où #0, et l'équation différentielle (2) donne par inversion,

comme ci-dessus (1), dæ

PE 0 EU a) d'où, généralement (170), (1710

l(u—a)+cC;

Le puis inversement (194), (200), uU= A+ eslx—0), fonction de x qui est indéfiniment olotrope.

VPourR SR on a (14), soit p(u)= g(u— a),

soit

piu)= g(u—a)(u—b), (bnon = a).

1° Dans le premier cas, l’inversion donne

puis (215”, 111)