CR

la seconde devient alors

gp MZ 2 M (PHE)2 armee = — er (17), OMNI) et donne

nUDol (io) u = ange =

917. La formule précédente combinée avec les propriétés générales de la fonction exponentielle fait connaître immédiatement toutes celles de tang x.

I. Les infinis de tangæ sont les quantités réelles (11) T+kr,

.T car ce sont les zéros du dénominateur 1 + e?i7 = e?i? — e ?(201 HV (204), qui ne peuvent annuler le numérateur. Ces derniers étant tous simples parce que la dérivée 2 ie?ix ne peut s'évanouir (196), les infinis en question sont simples aussi (31 et suiv.).

II. Le développement de tang(x+h) par la formule de Taylor est donc possible toutes les fois que x n'a pas une des

entiers en tangæ; mais les calculs se compliquent rapidement (1)

CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES. 241 valeurs (11) et que mod est inférieur à la plus courte des distances de x aux mémes valeurs singulières (201*).

En faisant uw — tang x dans les expressions ultimes des dérivées de w tirées de l'équation différentielle (2) (290*), on obtiendrait les coefficients de ce développement sous forme de polynomes

TT. La fonction tangx admet la période Æ x (204) qué est élémentaire (260, inf.); car l'équation numérique en X,

tangX —=tangz, révIent à

d’où l’on tire immédiatement (204) X= TE mT.

IV. À cause de cette périodicité commune tant de tangx que de ses infinis (1), tous les résidus de cette fonction ont la même

trouve pour le résidu correspondant