CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES

de celle de arctangx, elle représente encore cette fonction pour de pareilles valeurs de x.

L'inversion de l'équation (5) donnant

d'arctangr I ————Û 2 = © = [D + 3 —, dx 1+%?

pour modzx <1, l'intégration de cette dernière ferait retrouver immédiatement la formule précédente.

Quand x est réelle, toutes les déterminations de arctangx le sont évidemment aussi, de plus croissantes puisque leur dérivée première commune est toujours posilive en vertu de l’équaion (20). D’autre part, et à cause de tango — 0, une seule détermination est susceptible de s'annuler, ce qui a lieu pour elle en æ = 0 exclusivement. On en conclut facilement que pour chaque valeur positive de x, cette détermination est la plus petite de celles qui sont positives. Quand x est 1, on obtient son développement en prenant 7 — 0 dans la relation (10), ce qui donne

PA

arc tang T —

= on re 1%

Si l’on fait ici x — 1, et si l’on remarque que. d’après la rela- ) que que, P

FT

1 T ; ; È les positives desquelles a est la plus petite, on arrive à la formule

uon (10), les valeurs de x rendant tangæ = 1 sont > + mr, parmi

elle est curieuse, mais sans utilité pratique, à cause de la lenteur avec laquelle converge la série.

219 bis. En étudiant l’équation différentielle (5) par la méthode directe que nous suivrons aux n° 299 et suiv., inf., on prouve sans difficulté : 1° que ses intégrales sont toutes indéfiniment méromorphes et ne dégénèrent jamais en des constantes; 2° que les racines de l’équation numérique

tangæ = UÜ

‘hÿà DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D’UNÉ SEULE VARIABLE. sont, quelle que soit U < +2, les valeurs de l'intégrale définie

U Ü U du I du ï du

— = —, > — — 9 À H € 1 il LRU 21 0 U L DN/ 0 LEE

prises sur tous les chemins conduisant de o à U, qu’elles sont par suite de la forme X + Il, où X représente l’une d’elles et II la valeur de la même intégrale prise sur l’une ou l’autre, à volonté, . des deux boucles enveloppant les valeurs singulières Æ & respectivement; 3° que la même intégrale est finie quand U s’éloigne à l'infini sur un chemin ne faisant autour de +7 que des lacets en nombre limité (Cf. 296, 1°, inf.). De tout quoi, et en raisonnant exactement comme au n° 302, VIIL, enf., on conclut l’'inégalité HZ 0. C'est la seconde démonstration dont nous avons parlé au n° 180 in fine, car il est évident, par la relation précédente, que Il est précisément la période de l’exponentielle, au diviseur 21 près.