ANS
221. Les deux fonctions que nous venons d’étudier ont avec sinæ et cosx des relations très simples sur lesquelles on pourrait fonder pour elles une théorie toute différente, mais moins propre selon nous à mettre bien en évidence leur véritable caractère ana-
lytique (248, inf.).
Réduction des intégrales circulaires, elliptiques et ultra-elliptiques. Expressions générales et inversion des premières.
222. Après les intégrales de nature abélienne qui nous ont donné, directement ou par inversion, le logarithme et l’exponenelle (Chap. V), puis la tangente, la cotangente et leurs fonctions inverses (215 ec sutv.), les plus simples sont celles dont l’irrationnelle caractéristique y dépend d’une équation entière où elle entre
au deuxième degré. Sans restreindre la généralité de l’intégrale
(@) SF(x, y)de, on peut toujours supposer alors que cette équation se réduit à (2) JP? UE NES
où o(x)est un polynome entier en x, dont le degré effectif k est > 0, et qui est dépourvu de tout zéro multiple. Car l’équation en question est nécessairement de la forme
(3) Ay?+2By+C—=o,
À, B, C désignant des polynomes entiers quelconques en æ,eten appelant o(æ) le produit de tous les facteurs linéaires distincts de B?— AC qui figurent dans ce polynome avec des exposants
impairs, On à B? — AC = K?e(æ),
où K est un nouveau polynome entier en æ. Cela posé, la résolution de l’équauon (3) donne
B K JET NE et o(x) ne peut se réduire à une constante, puisque alors l’équation (3) serait réductible contrairement à l'hypothèse du n° 169. Or il est évident que toute fonction composée rationnelle de x
et de y est aussi composée rationnellement de x et de Vo(x); c'est-à-dire de æ et de la racine d’une équation de la forme (2).
Dans cette hypothèse, où nous nous placerons désormais, on a deux théorèmes généraux que nous commencerons par établir.
293. Une simple substitution rationnelle du premier degré (30*) permet, soit d'augmenter d’une unité le degré k du polynome o(æx) si ce nombre est impair, soit de le diminuer d’une unité s’il est pair.
Nous écrirons
(x) — (ai + bix) Matte (Ag + brx),
CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES. 239 les coefficients d,, ..., b; et les déterminants (a;b; — a jb;) étant tous différents de zéro, et, appelant £ une nouvelle variable d’intégration, nous exécuterons la substitution
dont les coefficients provisoirement indéterminés sont assujeLlis à la seule condition de donner
ad— yo, et qui conduit alors à
CB PNA
Ar =— = (YO
Stk—=9n—1+,il vient ainsi
C CT ILCaiv + bia) + (a + b18)e]...
[(Gon—1 y Aa Oan-1%) +(Aon-1 d + Oan—1 8) | [Y ne ARE
et l'expression y(£) entre accolades est un polynome entier sans facteurs multiples, en outre de degré effectif 2 n, si les coefficients de la substitution (4) ont été choisis de manière à ne rendre —0, ni à, ni aucun des binomes a;ù + b;6. On aura donc ainsi
F[x, Vetz)] dx = — ant. je vxt) |a
yY+HÔ (y+Ôt) A Fil é, Vaud,
où F, est une nouvelle composante rationnelle. S1 4 = 2 n, il vient
— Cy= dep {[(a1 y + bia) + (10 + b1B)e]...
[(GanY ou vi Dana) + (Gand Ste banB) {|
et l’expression d(£) entre accolades est encore un polynome entier en { sans facteur multiple mais de degré effectif 27 — 1 seulement, si l'on prend maintenant pour à, 6 des valeurs annulant l’un des binomes a;ù + b;6.
Or, on trouve comme ci-dessus,
F[z, Ve tes ETES |a
Q+û» Ly+ôr (y + ôt)r
= F; Le Vy()] dé,
où la composante F, est toujours rationnelle.
224. Quelle que soit la composante rationnelle F, l’intégrale (1) se ramène à la somme :
1° D'une expression rationnelle et logarithmique (5) Y(æ),
intégrale indéfinie d’une certaine différentielle rationnelle CNE
2° Du produit (6) (EX
d’une certaine fonction rationnelle de x, v(x), par le radical y ; 3° D'une fonction linéaire et homogène des k — 1 intégrales
dx ds zk—2 dx (7) 17% M es JET, “2
cette troisième partie n'existant pas toutefois si l’on a K =; 4° D'une fonction linéaire et homogène d’intégrales en nombre indéterminé, de la forme
__dæ (&æ—u)y"
à! >| æ f ; où M n'est pas un zéro de o(æx).
1. En mettant F(x, y) sous forme d'un quotient de deux polynomes entiers en æ, y, groupant dans chaque terme de cette fraction les monomes de degrés pairs en y, ainsi que ceux de degrés impairs, et mettant ce radical en facteur dans les derniers groupes, il vient
M, M’, N, N' désignant des polÿnomes entiers en x et en y?, en x
