CHAPITRE VI, — FONCTIONS CIRCULAIRES
seulement, par suite, si l’on y remplace y? par (x) en vertu de l'équation (2). En multipliant ensuite les deux termes de cette dernière fraction par N — N'y, il viendra
(MN—M'N'y2)+ (MN — MN')y
Du) — N?— N°72 “2 | 4 P: 7? LA P L ‘Ey I TX CRAN
X, P, P,, P' désignant encore des polynomes entiers en x: on en ° : 9 P ÿ ?
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et la première intégrale du second membre de cette formule de
conclut
décomposition donne l'expression désignée par Y(æ) dans notre énoncé, IL. Quant à la deuxième, si l’on décompose la fraction rationee , : : ; nelle <— en monomes entiers et en fractions simples (92), elle
F4 deviendra une fonction composée linéaire d’intégrales des formes
x dx (9) IE
el
En fr dx AU. dx :
Saoot) ces
M, 4,1, ... étant des exposants positifs et à, b, ... des constantes inégales.
IL. Cela posé, en appelant 1 un entier positif quelconque, on aura identiquement
D,(xt-1y)=(u—1)rt-27 + mt—1 D>;Yy
— - [ u —1)æhr2y? + : BETA D(y2)] où, à cause de l’équation (2), l'expression entre crochets est un polynome entier en x,
AU ghk—2+u AUS LRETF EE, Nam
de degré effectif k — 2 +; car, en appelant &, le coefficient de msi dans w(x), lequel est essentiellement non —0,0ona
k ia (ui =) a
quantité qui ne peut s'évanouir. En intégrant donc les deux membres de l'identité précédente, il vient
axk—-2+V À gk—2+u-1 dx (11) sb Ay AE dn + AP PES dx + SPA :
4 ‘À "f Maintenant nous distinguerons deux cas.
19 Si Æ—1, nommons M —1 le plus grand des exposants m dans les intégrales (9), et faisons successivement — 1,2...) M. La relation précédente donnera M équations dont la résolution
fournira, linéairement par rapport à (12) V). TV; TEVANENE RE
les expressions des M intégrales de la forme (9) où m ne surpasse pas M — 1. Effectivement ces équations sont linéaires, et le déterminant des coefficients de ces intégrales s’y réduit à AUTASSRSSL produit non — 0 comme chacun de ses facteurs.
9 Si 41, nous appellerons M l'excès sur ko tdu plus grand des exposants » dans les intégrales (9), et nous ferons encore u—1, 2, .-., M. Les M équations fournies par la relation (11) ne pourront plus être résolues par rapport à la totalité des k—2+M+r intégrales qui figurent dans leurs seconds membres; mais, pour la même raison que ci-dessus (1°), elles donneront les M d’entre elles où m surpasse # — 2, exprimées linéairement au moyen des fonctions (12) et des intégrales (7).
IV. En appelant enfin ; un enter positif quelconque, on aura encore identiquement Delta) my] = (— x Fire ay-{y +(x—a)y HD; y
Ce dernier facteur entre crochets est un polynome entier en æ, de
Poe A , , . . . k degré égal à £ en général (moindre toutefois si — y + 1 + 5 = o) $
