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La première écrile sin . bee x) — sino donne «x — #

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Ces zéros sont tous simples (3), car chacun de ceux d'une fonction diffère de tous ceux de l’autre, et, par suite, ne peut annuler cette seconde fonction, c'est-à-dire la dérivée de la première au facteur numérique + 1 près (231).

239. Les coefficients des séries (4), (5) étant réels, les valeurs du cosinus et du sinus le sont aussi pour toutes les valeurs réelles de æ; il est facile maintenant de les discuter; nous le ferons pour le sinus entre o et 27, ce qui est suffisant à cause de sa périodicité.

Comme sin x n’a aucun zéro entre e, quantité positive infiniment petite, et x —e, il conserve un signe constant dans cet intervalle (22); ce signe est + parce que, D sinx — cosx se réduisant à 1 pour x — o d’après la formule (4), sinx est croissant en æ — 0

(19), (21), et d’ailleurs —o. Mais, comme ses zéros sont tous simples et réels, sinæ change de signe en chacun d’eux (18) et prend le signé — de —r+e à —&.

Il en résulte, d’après la seconde des relations (8), que cosæ

7e TT CARRE EU < est positif de o à = —e, négatif de '+eàT; on a, d’autre part, “à LS ” UT x T . N x sin = COS0 — 1 Dex—oàx—-; le sinus croît donc deoàr; INA 2 ’ A \ A È deæ—-àx—7r, il décroît de 1 à o. Après quoi, la seconde des

relations (16) montre que, de # à 7, sinx décroit encore de o à — 1, que de x à 27, il croît de — 1 à o. |

936. Les relations de définition (3), combinées avec les propriétés fondamentales de l’exponentelle et les identités évidentes

(17) eiX = COST + iSsinT,

(18) e—iX — COSX — Sin, donnent facilement les formules

cos(x + y)= cosæcosy Esinæsiny, (9) | sin(x+y)= sinscosy Ecosæsiny,

pour l'addition (ou la soustraction) des arguments dans le sinus et le cosinus.

On peut en déduire de proche en proche celles relauves à la multiplication de l'argument, et aussi à sa division. Mais 1il y a pour cela une autre méthode bien préférable que nous indiquerons plus loin (244, ënf.).

937. Les relations (19) fournissent facilement les éléments du cosinus et du sinus. La première donne, par exemple,

A y ex" + ex” Ua ex" — ex” Cosæ = cos(Z' + 12") = COL + EST ———— 2, 2 Le premier terme du second membre et le coefficient de & dans le dernier, étant des quantités évidemment réelles, sont précisé-

ment les éléments de cosx; de même pour sinx.

938. La formule précédente facilite la discussion de cosx pour des valeurs infimies de Ja variable.